Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5666 / 11885
↖ ↑ ↗
← S 62.724533°
W 55.502930°		 ← 1 119.68 m → S 62.724533°
W 55.480957°		 →
↑
1 119.45 m
↓
↑
1 119.45 m
↓
S 62.734601°
W 55.502930°		 ← 1 119.30 m →
1 253 209 m²		 S 62.734601°
W 55.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345855712890625 y=0.725433349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345855712890625 × 214)
    floor (0.345855712890625 × 16384)
    floor (5666.5)     		tx = 5666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725433349609375 × 214)
    floor (0.725433349609375 × 16384)
    floor (11885.5)     		ty = 11885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5666 / 11885 ti = "14/5666/11885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5666/11885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5666 ÷ 214
    5666 ÷ 16384     		x = 0.3458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11885 ÷ 214
    11885 ÷ 16384     		y = 0.72540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96870887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.4508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41624776237494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96870887} λ = -0.96870887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41624776237494))-π/2
    2×atan(0.242622689036516)-π/2
    2×0.238023350301484-π/2
    0.476046700602969-1.57079632675     		φ = -1.09474963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96870887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.502930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09474963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.724533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5666 KachelY 11885 -0.96870887 -1.09474963 -55.502930 -62.724533
    Oben rechts KachelX + 1 5667 KachelY 11885 -0.96832537 -1.09474963 -55.480957 -62.724533
    Unten links KachelX 5666 KachelY + 1 11886 -0.96870887 -1.09492534 -55.502930 -62.734601
    Unten rechts KachelX + 1 5667 KachelY + 1 11886 -0.96832537 -1.09492534 -55.480957 -62.734601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09474963--1.09492534) × R
    0.000175710000000162 × 6371000     		dl = 1119.44841000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09474963--1.09492534) × R
    0.000175710000000162 × 6371000     		dr = 1119.44841000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96870887--0.96832537) × cos(-1.09474963) × R
    0.000383500000000092 × 0.458269016326365 × 6371000     		do = 1119.67883480663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96870887--0.96832537) × cos(-1.09492534) × R
    0.000383500000000092 × 0.458112835825777 × 6371000     		du = 1119.29724234742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09474963)-sin(-1.09492534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458269016326365-0.458112835825777)×R²
    abs(-0.96832537--0.96870887)×0.000156180500588687×R²
    0.000383500000000092×0.000156180500588687×6371000²
    0.000383500000000092×0.000156180500588687×40589641000000     		ar = 1253209.10802481m²