Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56658 / 29874
↖ ↑ ↗
← N 69.486447°
W 24.384155°		 ← 107.01 m → N 69.486447°
W 24.381409°		 →
↑
106.97 m
↓
↑
106.97 m
↓
N 69.485485°
W 24.384155°		 ← 107.01 m →
11 447 m²		 N 69.485485°
W 24.381409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432270050048828 y=0.227924346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432270050048828 × 217)
    floor (0.432270050048828 × 131072)
    floor (56658.5)     		tx = 56658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227924346923828 × 217)
    floor (0.227924346923828 × 131072)
    floor (29874.5)     		ty = 29874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56658 / 29874 ti = "17/56658/29874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56658/29874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56658 ÷ 217
    56658 ÷ 131072     		x = 0.432266235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29874 ÷ 217
    29874 ÷ 131072     		y = 0.227920532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432266235351562 × 2 - 1) × π
    -0.135467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42558379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227920532226562 × 2 - 1) × π
    0.544158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70952571425044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42558379} λ = -0.42558379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70952571425044))-π/2
    2×atan(5.52633979174859)-π/2
    2×1.39178181077682-π/2
    2.78356362155364-1.57079632675     		φ = 1.21276729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42558379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.384155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21276729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.486447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56658 KachelY 29874 -0.42558379 1.21276729 -24.384155 69.486447
    Oben rechts KachelX + 1 56659 KachelY 29874 -0.42553586 1.21276729 -24.381409 69.486447
    Unten links KachelX 56658 KachelY + 1 29875 -0.42558379 1.21275050 -24.384155 69.485485
    Unten rechts KachelX + 1 56659 KachelY + 1 29875 -0.42553586 1.21275050 -24.381409 69.485485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21276729-1.21275050) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dl = 106.969089999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21276729-1.21275050) × R
    1.67899999998777e-05 × 6371000     		dr = 106.969089999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42558379--0.42553586) × cos(1.21276729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350428932027221 × 6371000     		do = 107.00769005463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42558379--0.42553586) × cos(1.21275050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.350444657312592 × 6371000     		du = 107.012491959693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21276729)-sin(1.21275050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350428932027221-0.350444657312592)×R²
    abs(-0.42553586--0.42558379)×1.57252853713041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57252853713041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57252853713041e-05×40589641000000     		ar = 11446.7720558914m²