Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56657 / 44072
↖ ↑ ↗
← N 50.666872°
W 24.386902°		 ← 193.59 m → N 50.666872°
W 24.384155°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 50.665131°
W 24.386902°		 ← 193.59 m →
37 470 m²		 N 50.665131°
W 24.384155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432262420654297 y=0.336246490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432262420654297 × 217)
    floor (0.432262420654297 × 131072)
    floor (56657.5)     		tx = 56657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336246490478516 × 217)
    floor (0.336246490478516 × 131072)
    floor (44072.5)     		ty = 44072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56657 / 44072 ti = "17/56657/44072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56657/44072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56657 ÷ 217
    56657 ÷ 131072     		x = 0.432258605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44072 ÷ 217
    44072 ÷ 131072     		y = 0.33624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432258605957031 × 2 - 1) × π
    -0.135482788085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.42563173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33624267578125 × 2 - 1) × π
    0.3275146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02891761344489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42563173} λ = -0.42563173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02891761344489))-π/2
    2×atan(2.79803563891703)-π/2
    2×1.22755003523972-π/2
    2.45510007047944-1.57079632675     		φ = 0.88430374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42563173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.386902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88430374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.666872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56657 KachelY 44072 -0.42563173 0.88430374 -24.386902 50.666872
    Oben rechts KachelX + 1 56658 KachelY 44072 -0.42558379 0.88430374 -24.384155 50.666872
    Unten links KachelX 56657 KachelY + 1 44073 -0.42563173 0.88427336 -24.386902 50.665131
    Unten rechts KachelX + 1 56658 KachelY + 1 44073 -0.42558379 0.88427336 -24.384155 50.665131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88430374-0.88427336) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88430374-0.88427336) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42563173--0.42558379) × cos(0.88430374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633828193991419 × 6371000     		do = 193.587445182566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42563173--0.42558379) × cos(0.88427336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633851691834953 × 6371000     		du = 193.594622028815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88430374)-sin(0.88427336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633828193991419-0.633851691834953)×R²
    abs(-0.42558379--0.42563173)×2.34978435340594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34978435340594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34978435340594e-05×40589641000000     		ar = 37469.7342765484m²