Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56655 / 30338
↖ ↑ ↗
← N 69.035177°
W 24.392395°		 ← 109.28 m → N 69.035177°
W 24.389649°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.034194°
W 24.392395°		 ← 109.28 m →
11 940 m²		 N 69.034194°
W 24.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432247161865234 y=0.231464385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432247161865234 × 217)
    floor (0.432247161865234 × 131072)
    floor (56655.5)     		tx = 56655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231464385986328 × 217)
    floor (0.231464385986328 × 131072)
    floor (30338.5)     		ty = 30338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56655 / 30338 ti = "17/56655/30338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56655/30338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56655 ÷ 217
    56655 ÷ 131072     		x = 0.432243347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30338 ÷ 217
    30338 ÷ 131072     		y = 0.231460571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432243347167969 × 2 - 1) × π
    -0.135513305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42572761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231460571289062 × 2 - 1) × π
    0.537078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68728299282674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42572761} λ = -0.42572761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68728299282674))-π/2
    2×atan(5.40477592272569)-π/2
    2×1.38784372711388-π/2
    2.77568745422777-1.57079632675     		φ = 1.20489113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42572761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.392395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20489113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.035177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56655 KachelY 30338 -0.42572761 1.20489113 -24.392395 69.035177
    Oben rechts KachelX + 1 56656 KachelY 30338 -0.42567967 1.20489113 -24.389649 69.035177
    Unten links KachelX 56655 KachelY + 1 30339 -0.42572761 1.20487398 -24.392395 69.034194
    Unten rechts KachelX + 1 56656 KachelY + 1 30339 -0.42567967 1.20487398 -24.389649 69.034194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20489113-1.20487398) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20489113-1.20487398) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42572761--0.42567967) × cos(1.20489113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		do = 109.279715278429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42572761--0.42567967) × cos(1.20487398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357810728579311 × 6371000     		du = 109.284606556204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20489113)-sin(1.20487398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357794713957314-0.357810728579311)×R²
    abs(-0.42567967--0.42572761)×1.60146219975177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60146219975177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60146219975177e-05×40589641000000     		ar = 11940.4585000621m²