Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56652 / 44078
↖ ↑ ↗
← N 50.656426°
W 24.400635°		 ← 193.63 m → N 50.656426°
W 24.397888°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
N 50.654685°
W 24.400635°		 ← 193.64 m →
37 490 m²		 N 50.654685°
W 24.397888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432224273681641 y=0.336292266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432224273681641 × 217)
    floor (0.432224273681641 × 131072)
    floor (56652.5)     		tx = 56652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336292266845703 × 217)
    floor (0.336292266845703 × 131072)
    floor (44078.5)     		ty = 44078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56652 / 44078 ti = "17/56652/44078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56652/44078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56652 ÷ 217
    56652 ÷ 131072     		x = 0.432220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44078 ÷ 217
    44078 ÷ 131072     		y = 0.336288452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.13555908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42587142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336288452148438 × 2 - 1) × π
    0.327423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02862999204716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42587142} λ = -0.42587142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02862999204716))-π/2
    2×atan(2.79723097971985)-π/2
    2×1.22745887382524-π/2
    2.45491774765048-1.57079632675     		φ = 0.88412142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42587142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.400635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88412142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.656426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56652 KachelY 44078 -0.42587142 0.88412142 -24.400635 50.656426
    Oben rechts KachelX + 1 56653 KachelY 44078 -0.42582348 0.88412142 -24.397888 50.656426
    Unten links KachelX 56652 KachelY + 1 44079 -0.42587142 0.88409103 -24.400635 50.654685
    Unten rechts KachelX + 1 56653 KachelY + 1 44079 -0.42582348 0.88409103 -24.397888 50.654685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88412142-0.88409103) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88412142-0.88409103) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42587142--0.42582348) × cos(0.88412142) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633969203211373 × 6371000     		do = 193.630513028141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42587142--0.42582348) × cos(0.88409103) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633992705277143 × 6371000     		du = 193.63769116397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88412142)-sin(0.88409103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633969203211373-0.633992705277143)×R²
    abs(-0.42582348--0.42587142)×2.35020657693985e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35020657693985e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35020657693985e-05×40589641000000     		ar = 37490.4066534965m²