Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56650 / 84158
↖ ↑ ↗
← S 45.456278°
W 24.406128°		 ← 214.24 m → S 45.456278°
W 24.403381°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
S 45.458204°
W 24.406128°		 ← 214.23 m →
45 888 m²		 S 45.458204°
W 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432209014892578 y=0.642078399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432209014892578 × 217)
    floor (0.432209014892578 × 131072)
    floor (56650.5)     		tx = 56650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642078399658203 × 217)
    floor (0.642078399658203 × 131072)
    floor (84158.5)     		ty = 84158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56650 / 84158 ti = "17/56650/84158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56650/84158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56650 ÷ 217
    56650 ÷ 131072     		x = 0.432205200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84158 ÷ 217
    84158 ÷ 131072     		y = 0.642074584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642074584960938 × 2 - 1) × π
    -0.284149169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892680944724686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42596729} λ = -0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892680944724686))-π/2
    2×atan(0.409556281847238)-π/2
    2×0.388717308746771-π/2
    0.777434617493542-1.57079632675     		φ = -0.79336171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79336171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.456278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56650 KachelY 84158 -0.42596729 -0.79336171 -24.406128 -45.456278
    Oben rechts KachelX + 1 56651 KachelY 84158 -0.42591935 -0.79336171 -24.403381 -45.456278
    Unten links KachelX 56650 KachelY + 1 84159 -0.42596729 -0.79339533 -24.406128 -45.458204
    Unten rechts KachelX + 1 56651 KachelY + 1 84159 -0.42591935 -0.79339533 -24.403381 -45.458204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79336171--0.79339533) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dl = 214.193019999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79336171--0.79339533) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dr = 214.193019999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(-0.79336171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.701453341343318 × 6371000     		do = 214.241905855363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(-0.79339533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.701429379455889 × 6371000     		du = 214.234587278163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79336171)-sin(-0.79339533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701453341343318-0.701429379455889)×R²
    abs(-0.42591935--0.42596729)×2.39618874288139e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39618874288139e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39618874288139e-05×40589641000000     		ar = 45888.3370359309m²