Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56650 / 44162
↖ ↑ ↗
← N 50.509933°
W 24.406128°		 ← 194.23 m → N 50.509933°
W 24.403381°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
N 50.508187°
W 24.406128°		 ← 194.24 m →
37 719 m²		 N 50.508187°
W 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432209014892578 y=0.336933135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432209014892578 × 217)
    floor (0.432209014892578 × 131072)
    floor (56650.5)     		tx = 56650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336933135986328 × 217)
    floor (0.336933135986328 × 131072)
    floor (44162.5)     		ty = 44162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56650 / 44162 ti = "17/56650/44162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56650/44162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56650 ÷ 217
    56650 ÷ 131072     		x = 0.432205200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44162 ÷ 217
    44162 ÷ 131072     		y = 0.336929321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336929321289062 × 2 - 1) × π
    0.326141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02460329247908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42596729} λ = -0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02460329247908))-π/2
    2×atan(2.78599001811829)-π/2
    2×1.2261804839858-π/2
    2.45236096797161-1.57079632675     		φ = 0.88156464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88156464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.509933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56650 KachelY 44162 -0.42596729 0.88156464 -24.406128 50.509933
    Oben rechts KachelX + 1 56651 KachelY 44162 -0.42591935 0.88156464 -24.403381 50.509933
    Unten links KachelX 56650 KachelY + 1 44163 -0.42596729 0.88153416 -24.406128 50.508187
    Unten rechts KachelX + 1 56651 KachelY + 1 44163 -0.42591935 0.88153416 -24.403381 50.508187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88156464-0.88153416) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dl = 194.18808000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88156464-0.88153416) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dr = 194.18808000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(0.88156464) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635944435906972 × 6371000     		do = 194.233799935867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(0.88153416) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635967958089706 × 6371000     		du = 194.240984215935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88156464)-sin(0.88153416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635944435906972-0.635967958089706)×R²
    abs(-0.42591935--0.42596729)×2.35221827343812e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35221827343812e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35221827343812e-05×40589641000000     		ar = 37718.5862345172m²