Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56650 / 43997
↖ ↑ ↗
← N 50.797256°
W 24.406128°		 ← 193.05 m → N 50.797256°
W 24.403381°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
N 50.795519°
W 24.406128°		 ← 193.06 m →
37 267 m²		 N 50.795519°
W 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432209014892578 y=0.335674285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432209014892578 × 217)
    floor (0.432209014892578 × 131072)
    floor (56650.5)     		tx = 56650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335674285888672 × 217)
    floor (0.335674285888672 × 131072)
    floor (43997.5)     		ty = 43997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56650 / 43997 ti = "17/56650/43997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56650/43997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56650 ÷ 217
    56650 ÷ 131072     		x = 0.432205200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43997 ÷ 217
    43997 ÷ 131072     		y = 0.335670471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335670471191406 × 2 - 1) × π
    0.328659057617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03251288091639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42596729} λ = -0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03251288091639))-π/2
    2×atan(2.80811343075692)-π/2
    2×1.22868784242853-π/2
    2.45737568485706-1.57079632675     		φ = 0.88657936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88657936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.797256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56650 KachelY 43997 -0.42596729 0.88657936 -24.406128 50.797256
    Oben rechts KachelX + 1 56651 KachelY 43997 -0.42591935 0.88657936 -24.403381 50.797256
    Unten links KachelX 56650 KachelY + 1 43998 -0.42596729 0.88654906 -24.406128 50.795519
    Unten rechts KachelX + 1 56651 KachelY + 1 43998 -0.42591935 0.88654906 -24.403381 50.795519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88657936-0.88654906) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dl = 193.041300000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88657936-0.88654906) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dr = 193.041300000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(0.88657936) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632066421790945 × 6371000     		do = 193.049354604748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(0.88654906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632089901401466 × 6371000     		du = 193.056525882167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88657936)-sin(0.88654906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632066421790945-0.632089901401466)×R²
    abs(-0.42591935--0.42596729)×2.34796105216262e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34796105216262e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34796105216262e-05×40589641000000     		ar = 37267.190556478m²