Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56650 / 18245
↖ ↑ ↗
← N 78.167767°
W 24.406128°		 ← 62.63 m → N 78.167767°
W 24.403381°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.167204°
W 24.406128°		 ← 62.63 m →
3 922 m²		 N 78.167204°
W 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432209014892578 y=0.139202117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432209014892578 × 217)
    floor (0.432209014892578 × 131072)
    floor (56650.5)     		tx = 56650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139202117919922 × 217)
    floor (0.139202117919922 × 131072)
    floor (18245.5)     		ty = 18245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56650 / 18245 ti = "17/56650/18245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56650/18245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56650 ÷ 217
    56650 ÷ 131072     		x = 0.432205200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18245 ÷ 217
    18245 ÷ 131072     		y = 0.139198303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139198303222656 × 2 - 1) × π
    0.721603393554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26698391993208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42596729} λ = -0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26698391993208))-π/2
    2×atan(9.65025094747127)-π/2
    2×1.46754061224414-π/2
    2.93508122448828-1.57079632675     		φ = 1.36428490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36428490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.167767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56650 KachelY 18245 -0.42596729 1.36428490 -24.406128 78.167767
    Oben rechts KachelX + 1 56651 KachelY 18245 -0.42591935 1.36428490 -24.403381 78.167767
    Unten links KachelX 56650 KachelY + 1 18246 -0.42596729 1.36427507 -24.406128 78.167204
    Unten rechts KachelX + 1 56651 KachelY + 1 18246 -0.42591935 1.36427507 -24.403381 78.167204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36428490-1.36427507) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36428490-1.36427507) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(1.36428490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205046705831734 × 6371000     		do = 62.6265418632511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(1.36427507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.20505632695585 × 6371000     		du = 62.6294804022038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36428490)-sin(1.36427507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205046705831734-0.20505632695585)×R²
    abs(-0.42591935--0.42596729)×9.62112411578842e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.62112411578842e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.62112411578842e-06×40589641000000     		ar = 3922.20006918439m²