Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56650 / 14046
↖ ↑ ↗
← N 80.313652°
W 24.406128°		 ← 51.39 m → N 80.313652°
W 24.403381°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.313190°
W 24.406128°		 ← 51.39 m →
2 639 m²		 N 80.313190°
W 24.403381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432209014892578 y=0.107166290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432209014892578 × 217)
    floor (0.432209014892578 × 131072)
    floor (56650.5)     		tx = 56650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107166290283203 × 217)
    floor (0.107166290283203 × 131072)
    floor (14046.5)     		ty = 14046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56650 / 14046 ti = "17/56650/14046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56650/14046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56650 ÷ 217
    56650 ÷ 131072     		x = 0.432205200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14046 ÷ 217
    14046 ÷ 131072     		y = 0.107162475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.135589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42596729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107162475585938 × 2 - 1) × π
    0.785675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46827096143669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42596729} λ = -0.42596729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46827096143669))-π/2
    2×atan(11.8020230469883)-π/2
    2×1.48626699443278-π/2
    2.97253398886556-1.57079632675     		φ = 1.40173766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42596729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40173766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.313652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56650 KachelY 14046 -0.42596729 1.40173766 -24.406128 80.313652
    Oben rechts KachelX + 1 56651 KachelY 14046 -0.42591935 1.40173766 -24.403381 80.313652
    Unten links KachelX 56650 KachelY + 1 14047 -0.42596729 1.40172960 -24.406128 80.313190
    Unten rechts KachelX + 1 56651 KachelY + 1 14047 -0.42591935 1.40172960 -24.403381 80.313190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40173766-1.40172960) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40173766-1.40172960) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(1.40173766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168254510579548 × 6371000     		do = 51.3892584021222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42596729--0.42591935) × cos(1.40172960) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168262455667396 × 6371000     		du = 51.3916850364574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40173766)-sin(1.40172960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168254510579548-0.168262455667396)×R²
    abs(-0.42591935--0.42596729)×7.94508784746073e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.94508784746073e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.94508784746073e-06×40589641000000     		ar = 2638.91408444291m²