Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56648 / 84167
↖ ↑ ↗
← S 45.473614°
W 24.411621°		 ← 214.13 m → S 45.473614°
W 24.408875°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
S 45.475540°
W 24.411621°		 ← 214.12 m →
45 865 m²		 S 45.475540°
W 24.408875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432193756103516 y=0.642147064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432193756103516 × 217)
    floor (0.432193756103516 × 131072)
    floor (56648.5)     		tx = 56648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642147064208984 × 217)
    floor (0.642147064208984 × 131072)
    floor (84167.5)     		ty = 84167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56648 / 84167 ti = "17/56648/84167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56648/84167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56648 ÷ 217
    56648 ÷ 131072     		x = 0.43218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84167 ÷ 217
    84167 ÷ 131072     		y = 0.642143249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642143249511719 × 2 - 1) × π
    -0.284286499023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.893112376821266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42606316} λ = -0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893112376821266))-π/2
    2×atan(0.409379624232515)-π/2
    2×0.388566017267489-π/2
    0.777132034534978-1.57079632675     		φ = -0.79366429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79366429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.473614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56648 KachelY 84167 -0.42606316 -0.79366429 -24.411621 -45.473614
    Oben rechts KachelX + 1 56649 KachelY 84167 -0.42601523 -0.79366429 -24.408875 -45.473614
    Unten links KachelX 56648 KachelY + 1 84168 -0.42606316 -0.79369791 -24.411621 -45.475540
    Unten rechts KachelX + 1 56649 KachelY + 1 84168 -0.42601523 -0.79369791 -24.408875 -45.475540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79366429--0.79369791) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dl = 214.193019999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79366429--0.79369791) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dr = 214.193019999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42606316--0.42601523) × cos(-0.79366429) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.701237655816899 × 6371000     		do = 214.131354092573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42606316--0.42601523) × cos(-0.79369791) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.701213686794987 × 6371000     		du = 214.124034863385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79366429)-sin(-0.79369791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701237655816899-0.701213686794987)×R²
    abs(-0.42601523--0.42606316)×2.39690219121513e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39690219121513e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39690219121513e-05×40589641000000     		ar = 45864.6575499759m²