Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56648 / 43992
↖ ↑ ↗
← N 50.805935°
W 24.411621°		 ← 192.97 m → N 50.805935°
W 24.408875°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
N 50.804199°
W 24.411621°		 ← 192.98 m →
37 240 m²		 N 50.804199°
W 24.408875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432193756103516 y=0.335636138916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432193756103516 × 217)
    floor (0.432193756103516 × 131072)
    floor (56648.5)     		tx = 56648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335636138916016 × 217)
    floor (0.335636138916016 × 131072)
    floor (43992.5)     		ty = 43992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56648 / 43992 ti = "17/56648/43992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56648/43992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56648 ÷ 217
    56648 ÷ 131072     		x = 0.43218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43992 ÷ 217
    43992 ÷ 131072     		y = 0.33563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42606316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33563232421875 × 2 - 1) × π
    0.3287353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03275256541449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42606316} λ = -0.42606316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03275256541449))-π/2
    2×atan(2.8087865726828)-π/2
    2×1.22876358365584-π/2
    2.45752716731169-1.57079632675     		φ = 0.88673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42606316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.411621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.805935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56648 KachelY 43992 -0.42606316 0.88673084 -24.411621 50.805935
    Oben rechts KachelX + 1 56649 KachelY 43992 -0.42601523 0.88673084 -24.408875 50.805935
    Unten links KachelX 56648 KachelY + 1 43993 -0.42606316 0.88670055 -24.411621 50.804199
    Unten rechts KachelX + 1 56649 KachelY + 1 43993 -0.42601523 0.88670055 -24.408875 50.804199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88673084-0.88670055) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dl = 192.977589999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88673084-0.88670055) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dr = 192.977589999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42606316--0.42601523) × cos(0.88673084) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631949030534559 × 6371000     		do = 192.97323882046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42606316--0.42601523) × cos(0.88670055) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631972505296043 × 6371000     		du = 192.98040712128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88673084)-sin(0.88670055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631949030534559-0.631972505296043)×R²
    abs(-0.42601523--0.42606316)×2.34747614843434e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34747614843434e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34747614843434e-05×40589641000000     		ar = 37240.2022256851m²