Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56646 / 43973
↖ ↑ ↗
← N 50.838902°
W 24.417114°		 ← 192.88 m → N 50.838902°
W 24.414368°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.837167°
W 24.417114°		 ← 192.88 m →
37 209 m²		 N 50.837167°
W 24.414368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432178497314453 y=0.335491180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432178497314453 × 217)
    floor (0.432178497314453 × 131072)
    floor (56646.5)     		tx = 56646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335491180419922 × 217)
    floor (0.335491180419922 × 131072)
    floor (43973.5)     		ty = 43973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56646 / 43973 ti = "17/56646/43973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56646/43973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56646 ÷ 217
    56646 ÷ 131072     		x = 0.432174682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43973 ÷ 217
    43973 ÷ 131072     		y = 0.335487365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432174682617188 × 2 - 1) × π
    -0.135650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42615904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335487365722656 × 2 - 1) × π
    0.329025268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03366336650727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42615904} λ = -0.42615904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03366336650727))-π/2
    2×atan(2.81134598394294)-π/2
    2×1.22905127202491-π/2
    2.45810254404982-1.57079632675     		φ = 0.88730622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42615904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.417114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88730622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.838902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56646 KachelY 43973 -0.42615904 0.88730622 -24.417114 50.838902
    Oben rechts KachelX + 1 56647 KachelY 43973 -0.42611110 0.88730622 -24.414368 50.838902
    Unten links KachelX 56646 KachelY + 1 43974 -0.42615904 0.88727594 -24.417114 50.837167
    Unten rechts KachelX + 1 56647 KachelY + 1 43974 -0.42611110 0.88727594 -24.414368 50.837167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88730622-0.88727594) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88730622-0.88727594) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42615904--0.42611110) × cos(0.88730622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631503000726858 × 6371000     		do = 192.877271309095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42615904--0.42611110) × cos(0.88727594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63152647874489 × 6371000     		du = 192.884442100126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88730622)-sin(0.88727594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631503000726858-0.63152647874489)×R²
    abs(-0.42611110--0.42615904)×2.34780180315974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34780180315974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34780180315974e-05×40589641000000     		ar = 37209.3944473589m²