Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56646 / 29256
↖ ↑ ↗
← N 70.073075°
W 24.417114°		 ← 104.10 m → N 70.073075°
W 24.414368°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 70.072138°
W 24.417114°		 ← 104.10 m →
10 837 m²		 N 70.072138°
W 24.414368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432178497314453 y=0.223209381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432178497314453 × 217)
    floor (0.432178497314453 × 131072)
    floor (56646.5)     		tx = 56646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223209381103516 × 217)
    floor (0.223209381103516 × 131072)
    floor (29256.5)     		ty = 29256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56646 / 29256 ti = "17/56646/29256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56646/29256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56646 ÷ 217
    56646 ÷ 131072     		x = 0.432174682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29256 ÷ 217
    29256 ÷ 131072     		y = 0.22320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432174682617188 × 2 - 1) × π
    -0.135650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42615904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22320556640625 × 2 - 1) × π
    0.5535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42615904} λ = -0.42615904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73915071821564))-π/2
    2×atan(5.69250682679096)-π/2
    2×1.39690109914251-π/2
    2.79380219828502-1.57079632675     		φ = 1.22300587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42615904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.417114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22300587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.073075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56646 KachelY 29256 -0.42615904 1.22300587 -24.417114 70.073075
    Oben rechts KachelX + 1 56647 KachelY 29256 -0.42611110 1.22300587 -24.414368 70.073075
    Unten links KachelX 56646 KachelY + 1 29257 -0.42615904 1.22298953 -24.417114 70.072138
    Unten rechts KachelX + 1 56647 KachelY + 1 29257 -0.42611110 1.22298953 -24.414368 70.072138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22300587-1.22298953) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22300587-1.22298953) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42615904--0.42611110) × cos(1.22300587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		do = 104.095624491805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42615904--0.42611110) × cos(1.22298953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340836749169567 × 6371000     		du = 104.100316334241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22300587)-sin(1.22298953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340821387522457-0.340836749169567)×R²
    abs(-0.42611110--0.42615904)×1.53616471103013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53616471103013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53616471103013e-05×40589641000000     		ar = 10836.8214899245m²