Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56645 / 29255
↖ ↑ ↗
← N 70.074011°
W 24.419861°		 ← 104.07 m → N 70.074011°
W 24.417114°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 70.073075°
W 24.419861°		 ← 104.07 m →
10 834 m²		 N 70.073075°
W 24.417114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432170867919922 y=0.223201751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432170867919922 × 217)
    floor (0.432170867919922 × 131072)
    floor (56645.5)     		tx = 56645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223201751708984 × 217)
    floor (0.223201751708984 × 131072)
    floor (29255.5)     		ty = 29255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56645 / 29255 ti = "17/56645/29255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56645/29255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56645 ÷ 217
    56645 ÷ 131072     		x = 0.432167053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29255 ÷ 217
    29255 ÷ 131072     		y = 0.223197937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432167053222656 × 2 - 1) × π
    -0.135665893554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42620697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223197937011719 × 2 - 1) × π
    0.553604125976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.73919865511526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42620697} λ = -0.42620697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73919865511526))-π/2
    2×atan(5.69277971445994)-π/2
    2×1.39690926791872-π/2
    2.79381853583745-1.57079632675     		φ = 1.22302221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42620697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.419861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22302221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.074011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56645 KachelY 29255 -0.42620697 1.22302221 -24.419861 70.074011
    Oben rechts KachelX + 1 56646 KachelY 29255 -0.42615904 1.22302221 -24.417114 70.074011
    Unten links KachelX 56645 KachelY + 1 29256 -0.42620697 1.22300587 -24.419861 70.073075
    Unten rechts KachelX + 1 56646 KachelY + 1 29256 -0.42615904 1.22300587 -24.417114 70.073075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22302221-1.22300587) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dl = 104.102140001084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22302221-1.22300587) × R
    1.63400000001701e-05 × 6371000     		dr = 104.102140001084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42620697--0.42615904) × cos(1.22302221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340806025784348 × 6371000     		do = 104.069219869805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42620697--0.42615904) × cos(1.22300587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		du = 104.073910761338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22302221)-sin(1.22300587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340806025784348-0.340821387522457)×R²
    abs(-0.42615904--0.42620697)×1.53617381083437e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53617381083437e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53617381083437e-05×40589641000000     		ar = 10834.0726629025m²