Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56644 / 29367
↖ ↑ ↗
← N 69.968908°
W 24.422607°		 ← 104.62 m → N 69.968908°
W 24.419861°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
N 69.967967°
W 24.422607°		 ← 104.62 m →
10 944 m²		 N 69.967967°
W 24.419861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432163238525391 y=0.224056243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432163238525391 × 217)
    floor (0.432163238525391 × 131072)
    floor (56644.5)     		tx = 56644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224056243896484 × 217)
    floor (0.224056243896484 × 131072)
    floor (29367.5)     		ty = 29367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56644 / 29367 ti = "17/56644/29367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56644/29367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56644 ÷ 217
    56644 ÷ 131072     		x = 0.432159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29367 ÷ 217
    29367 ÷ 131072     		y = 0.224052429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.13568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42625491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224052429199219 × 2 - 1) × π
    0.551895141601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.73382972235781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42625491} λ = -0.42625491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73382972235781))-π/2
    2×atan(5.66229746476649)-π/2
    2×1.39599207328167-π/2
    2.79198414656334-1.57079632675     		φ = 1.22118782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42625491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.422607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22118782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.968908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56644 KachelY 29367 -0.42625491 1.22118782 -24.422607 69.968908
    Oben rechts KachelX + 1 56645 KachelY 29367 -0.42620697 1.22118782 -24.419861 69.968908
    Unten links KachelX 56644 KachelY + 1 29368 -0.42625491 1.22117140 -24.422607 69.967967
    Unten rechts KachelX + 1 56645 KachelY + 1 29368 -0.42620697 1.22117140 -24.419861 69.967967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22118782-1.22117140) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22118782-1.22117140) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42625491--0.42620697) × cos(1.22118782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34253002315326 × 6371000     		do = 104.617485793733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42625491--0.42620697) × cos(1.22117140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342545449810102 × 6371000     		du = 104.622197491815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22118782)-sin(1.22117140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34253002315326-0.342545449810102)×R²
    abs(-0.42620697--0.42625491)×1.54266568425099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54266568425099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54266568425099e-05×40589641000000     		ar = 10944.4720425927m²