Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56643 / 14054
↖ ↑ ↗
← N 80.309955°
W 24.425354°		 ← 51.41 m → N 80.309955°
W 24.422607°		 →
↑
51.41 m
↓
↑
51.41 m
↓
N 80.309492°
W 24.425354°		 ← 51.41 m →
2 643 m²		 N 80.309492°
W 24.422607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432155609130859 y=0.107227325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432155609130859 × 217)
    floor (0.432155609130859 × 131072)
    floor (56643.5)     		tx = 56643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107227325439453 × 217)
    floor (0.107227325439453 × 131072)
    floor (14054.5)     		ty = 14054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56643 / 14054 ti = "17/56643/14054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56643/14054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56643 ÷ 217
    56643 ÷ 131072     		x = 0.432151794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14054 ÷ 217
    14054 ÷ 131072     		y = 0.107223510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432151794433594 × 2 - 1) × π
    -0.135696411132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.42630285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107223510742188 × 2 - 1) × π
    0.785552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46788746623973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42630285} λ = -0.42630285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46788746623973))-π/2
    2×atan(11.7974978955778)-π/2
    2×1.48623472593604-π/2
    2.97246945187209-1.57079632675     		φ = 1.40167313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42630285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.425354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40167313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.309955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56643 KachelY 14054 -0.42630285 1.40167313 -24.425354 80.309955
    Oben rechts KachelX + 1 56644 KachelY 14054 -0.42625491 1.40167313 -24.422607 80.309955
    Unten links KachelX 56643 KachelY + 1 14055 -0.42630285 1.40166506 -24.425354 80.309492
    Unten rechts KachelX + 1 56644 KachelY + 1 14055 -0.42625491 1.40166506 -24.422607 80.309492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40167313-1.40166506) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dl = 51.4139700001699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40167313-1.40166506) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dr = 51.4139700001699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42630285--0.42625491) × cos(1.40167313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168318120262869 × 6371000     		do = 51.4086864367216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42630285--0.42625491) × cos(1.40166506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.1683260751205 × 6371000     		du = 51.4111160550002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40167313)-sin(1.40166506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168318120262869-0.1683260751205)×R²
    abs(-0.42625491--0.42630285)×7.95485763135928e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.95485763135928e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.95485763135928e-06×40589641000000     		ar = 2643.18712031838m²