Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56642 / 9236
↖ ↑ ↗
← N 78.039242°
E131.143799°		 ← 126.59 m → N 78.039242°
E131.149292°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 78.038104°
E131.143799°		 ← 126.61 m →
16 026 m²		 N 78.038104°
E131.149292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864295959472656 y=0.140937805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864295959472656 × 216)
    floor (0.864295959472656 × 65536)
    floor (56642.5)     		tx = 56642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140937805175781 × 216)
    floor (0.140937805175781 × 65536)
    floor (9236.5)     		ty = 9236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56642 / 9236 ti = "16/56642/9236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56642/9236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56642 ÷ 216
    56642 ÷ 65536     		x = 0.864288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9236 ÷ 216
    9236 ÷ 65536     		y = 0.14093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864288330078125 × 2 - 1) × π
    0.72857666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.28889108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14093017578125 × 2 - 1) × π
    0.7181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25610224371832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.28889108} λ = 2.28889108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25610224371832))-π/2
    2×atan(9.54580932183945)-π/2
    2×1.46641902512435-π/2
    2.9328380502487-1.57079632675     		φ = 1.36204172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.28889108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.143799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36204172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.039242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56642 KachelY 9236 2.28889108 1.36204172 131.143799 78.039242
    Oben rechts KachelX + 1 56643 KachelY 9236 2.28898696 1.36204172 131.149292 78.039242
    Unten links KachelX 56642 KachelY + 1 9237 2.28889108 1.36202185 131.143799 78.038104
    Unten rechts KachelX + 1 56643 KachelY + 1 9237 2.28898696 1.36202185 131.149292 78.038104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36204172-1.36202185) × R
    1.98699999998109e-05 × 6371000     		dl = 126.591769998795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36204172-1.36202185) × R
    1.98699999998109e-05 × 6371000     		dr = 126.591769998795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.28889108-2.28898696) × cos(1.36204172) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207241705444311 × 6371000     		do = 126.593902488298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.28889108-2.28898696) × cos(1.36202185) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.207261144021142 × 6371000     		du = 126.605776571725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36204172)-sin(1.36202185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207241705444311-0.207261144021142)×R²
    abs(2.28898696-2.28889108)×1.94385768317595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.94385768317595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.94385768317595e-05×40589641000000     		ar = 16026.4977683642m²