Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56642 / 14052
↖ ↑ ↗
← N 80.310879°
W 24.428101°		 ← 51.40 m → N 80.310879°
W 24.425354°		 →
↑
51.41 m
↓
↑
51.41 m
↓
N 80.310416°
W 24.428101°		 ← 51.41 m →
2 643 m²		 N 80.310416°
W 24.425354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432147979736328 y=0.107212066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432147979736328 × 217)
    floor (0.432147979736328 × 131072)
    floor (56642.5)     		tx = 56642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107212066650391 × 217)
    floor (0.107212066650391 × 131072)
    floor (14052.5)     		ty = 14052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56642 / 14052 ti = "17/56642/14052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56642/14052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56642 ÷ 217
    56642 ÷ 131072     		x = 0.432144165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14052 ÷ 217
    14052 ÷ 131072     		y = 0.107208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432144165039062 × 2 - 1) × π
    -0.135711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42635079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107208251953125 × 2 - 1) × π
    0.78558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46798334003897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42635079} λ = -0.42635079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46798334003897))-π/2
    2×atan(11.7986290207443)-π/2
    2×1.48624279420385-π/2
    2.97248558840771-1.57079632675     		φ = 1.40168926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42635079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.428101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40168926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.310879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56642 KachelY 14052 -0.42635079 1.40168926 -24.428101 80.310879
    Oben rechts KachelX + 1 56643 KachelY 14052 -0.42630285 1.40168926 -24.425354 80.310879
    Unten links KachelX 56642 KachelY + 1 14053 -0.42635079 1.40168119 -24.428101 80.310416
    Unten rechts KachelX + 1 56643 KachelY + 1 14053 -0.42630285 1.40168119 -24.425354 80.310416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40168926-1.40168119) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dl = 51.4139700001699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40168926-1.40168119) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dr = 51.4139700001699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42635079--0.42630285) × cos(1.40168926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168302220372076 × 6371000     		do = 51.4038302007507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42635079--0.42630285) × cos(1.40168119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168310175251617 × 6371000     		du = 51.4062598257211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40168926)-sin(1.40168119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168302220372076-0.168310175251617)×R²
    abs(-0.42630285--0.42635079)×7.95487954066698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.95487954066698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.95487954066698e-06×40589641000000     		ar = 2642.93744212499m²