Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56639 / 18235
↖ ↑ ↗
← N 78.173397°
W 24.436341°		 ← 62.60 m → N 78.173397°
W 24.433594°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.172834°
W 24.436341°		 ← 62.60 m →
3 920 m²		 N 78.172834°
W 24.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432125091552734 y=0.139125823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432125091552734 × 217)
    floor (0.432125091552734 × 131072)
    floor (56639.5)     		tx = 56639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139125823974609 × 217)
    floor (0.139125823974609 × 131072)
    floor (18235.5)     		ty = 18235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56639 / 18235 ti = "17/56639/18235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56639/18235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56639 ÷ 217
    56639 ÷ 131072     		x = 0.432121276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18235 ÷ 217
    18235 ÷ 131072     		y = 0.139122009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432121276855469 × 2 - 1) × π
    -0.135757446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42649460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139122009277344 × 2 - 1) × π
    0.721755981445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26746328892828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42649460} λ = -0.42649460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26746328892828))-π/2
    2×atan(9.65487808754619)-π/2
    2×1.46758974723381-π/2
    2.93517949446762-1.57079632675     		φ = 1.36438317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42649460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.436341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36438317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.173397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56639 KachelY 18235 -0.42649460 1.36438317 -24.436341 78.173397
    Oben rechts KachelX + 1 56640 KachelY 18235 -0.42644666 1.36438317 -24.433594 78.173397
    Unten links KachelX 56639 KachelY + 1 18236 -0.42649460 1.36437334 -24.436341 78.172834
    Unten rechts KachelX + 1 56640 KachelY + 1 18236 -0.42644666 1.36437334 -24.433594 78.172834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36438317-1.36437334) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36438317-1.36437334) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42649460--0.42644666) × cos(1.36438317) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.20495052286416 × 6371000     		do = 62.5971651092045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42649460--0.42644666) × cos(1.36437334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.204960144186308 × 6371000     		du = 62.6001037086413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36438317)-sin(1.36437334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20495052286416-0.204960144186308)×R²
    abs(-0.42644666--0.42649460)×9.62132214787914e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.62132214787914e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.62132214787914e-06×40589641000000     		ar = 3920.36029518398m²