Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56638 / 14062
↖ ↑ ↗
← N 80.306255°
W 24.439087°		 ← 51.42 m → N 80.306255°
W 24.436341°		 →
↑
51.41 m
↓
↑
51.41 m
↓
N 80.305793°
W 24.439087°		 ← 51.42 m →
2 644 m²		 N 80.305793°
W 24.436341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432117462158203 y=0.107288360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432117462158203 × 217)
    floor (0.432117462158203 × 131072)
    floor (56638.5)     		tx = 56638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107288360595703 × 217)
    floor (0.107288360595703 × 131072)
    floor (14062.5)     		ty = 14062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56638 / 14062 ti = "17/56638/14062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56638/14062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56638 ÷ 217
    56638 ÷ 131072     		x = 0.432113647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14062 ÷ 217
    14062 ÷ 131072     		y = 0.107284545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432113647460938 × 2 - 1) × π
    -0.135772705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42654253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107284545898438 × 2 - 1) × π
    0.785430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46750397104277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42654253} λ = -0.42654253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46750397104277))-π/2
    2×atan(11.7929744792083)-π/2
    2×1.48620244523874-π/2
    2.97240489047749-1.57079632675     		φ = 1.40160856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42654253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40160856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.306255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56638 KachelY 14062 -0.42654253 1.40160856 -24.439087 80.306255
    Oben rechts KachelX + 1 56639 KachelY 14062 -0.42649460 1.40160856 -24.436341 80.306255
    Unten links KachelX 56638 KachelY + 1 14063 -0.42654253 1.40160049 -24.439087 80.305793
    Unten rechts KachelX + 1 56639 KachelY + 1 14063 -0.42649460 1.40160049 -24.436341 80.305793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40160856-1.40160049) × R
    8.06999999980462e-06 × 6371000     		dl = 51.4139699987552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40160856-1.40160049) × R
    8.06999999980462e-06 × 6371000     		dr = 51.4139699987552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42654253--0.42649460) × cos(1.40160856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168381768674167 × 6371000     		do = 51.417398697306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42654253--0.42649460) × cos(1.40160049) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168389723444072 × 6371000     		du = 51.4198277819925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40160856)-sin(1.40160049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168381768674167-0.168389723444072)×R²
    abs(-0.42649460--0.42654253)×7.95476990528288e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.95476990528288e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.95476990528288e-06×40589641000000     		ar = 2643.63503855561m²