Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56637 / 44067
↖ ↑ ↗
← N 50.675576°
W 24.441834°		 ← 193.55 m → N 50.675576°
W 24.439087°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 50.673835°
W 24.441834°		 ← 193.56 m →
37 463 m²		 N 50.673835°
W 24.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432109832763672 y=0.336208343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432109832763672 × 217)
    floor (0.432109832763672 × 131072)
    floor (56637.5)     		tx = 56637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336208343505859 × 217)
    floor (0.336208343505859 × 131072)
    floor (44067.5)     		ty = 44067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56637 / 44067 ti = "17/56637/44067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56637/44067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56637 ÷ 217
    56637 ÷ 131072     		x = 0.432106018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44067 ÷ 217
    44067 ÷ 131072     		y = 0.336204528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432106018066406 × 2 - 1) × π
    -0.135787963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42659047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336204528808594 × 2 - 1) × π
    0.327590942382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02915729794299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42659047} λ = -0.42659047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02915729794299))-π/2
    2×atan(2.79870636506293)-π/2
    2×1.22762598759475-π/2
    2.45525197518951-1.57079632675     		φ = 0.88445565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42659047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.441834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88445565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.675576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56637 KachelY 44067 -0.42659047 0.88445565 -24.441834 50.675576
    Oben rechts KachelX + 1 56638 KachelY 44067 -0.42654253 0.88445565 -24.439087 50.675576
    Unten links KachelX 56637 KachelY + 1 44068 -0.42659047 0.88442527 -24.441834 50.673835
    Unten rechts KachelX + 1 56638 KachelY + 1 44068 -0.42654253 0.88442527 -24.439087 50.673835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88445565-0.88442527) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88445565-0.88442527) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42659047--0.42654253) × cos(0.88445565) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633710688263658 × 6371000     		do = 193.551555908934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42659047--0.42654253) × cos(0.88442527) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633734189032109 × 6371000     		du = 193.558733648529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88445565)-sin(0.88442527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633710688263658-0.633734189032109)×R²
    abs(-0.42654253--0.42659047)×2.35007684505906e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35007684505906e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35007684505906e-05×40589641000000     		ar = 37462.7879589133m²