Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56634 / 29254
↖ ↑ ↗
← N 70.074947°
W 24.450073°		 ← 104.09 m → N 70.074947°
W 24.447326°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 70.074011°
W 24.450073°		 ← 104.09 m →
10 836 m²		 N 70.074011°
W 24.447326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432086944580078 y=0.223194122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432086944580078 × 217)
    floor (0.432086944580078 × 131072)
    floor (56634.5)     		tx = 56634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223194122314453 × 217)
    floor (0.223194122314453 × 131072)
    floor (29254.5)     		ty = 29254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56634 / 29254 ti = "17/56634/29254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56634/29254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56634 ÷ 217
    56634 ÷ 131072     		x = 0.432083129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29254 ÷ 217
    29254 ÷ 131072     		y = 0.223190307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432083129882812 × 2 - 1) × π
    -0.135833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42673428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223190307617188 × 2 - 1) × π
    0.553619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73924659201488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42673428} λ = -0.42673428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73924659201488))-π/2
    2×atan(5.69305261521063)-π/2
    2×1.39691743632681-π/2
    2.79383487265361-1.57079632675     		φ = 1.22303855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42673428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.450073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22303855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.074947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56634 KachelY 29254 -0.42673428 1.22303855 -24.450073 70.074947
    Oben rechts KachelX + 1 56635 KachelY 29254 -0.42668634 1.22303855 -24.447326 70.074947
    Unten links KachelX 56634 KachelY + 1 29255 -0.42673428 1.22302221 -24.450073 70.074011
    Unten rechts KachelX + 1 56635 KachelY + 1 29255 -0.42668634 1.22302221 -24.447326 70.074011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22303855-1.22302221) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22303855-1.22302221) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42673428--0.42668634) × cos(1.22303855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340790663955247 × 6371000     		do = 104.086240723675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42673428--0.42668634) × cos(1.22302221) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.340806025784348 × 6371000     		du = 104.090932621696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22303855)-sin(1.22302221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340790663955247-0.340806025784348)×R²
    abs(-0.42668634--0.42673428)×1.53618291018898e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53618291018898e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53618291018898e-05×40589641000000     		ar = 10835.8446223863m²