Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56632 / 44157
↖ ↑ ↗
← N 50.518666°
W 24.455566°		 ← 194.16 m → N 50.518666°
W 24.452820°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
N 50.516919°
W 24.455566°		 ← 194.16 m →
37 704 m²		 N 50.516919°
W 24.452820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432071685791016 y=0.336894989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432071685791016 × 217)
    floor (0.432071685791016 × 131072)
    floor (56632.5)     		tx = 56632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336894989013672 × 217)
    floor (0.336894989013672 × 131072)
    floor (44157.5)     		ty = 44157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56632 / 44157 ti = "17/56632/44157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56632/44157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56632 ÷ 217
    56632 ÷ 131072     		x = 0.43206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44157 ÷ 217
    44157 ÷ 131072     		y = 0.336891174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43206787109375 × 2 - 1) × π
    -0.1358642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42683015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336891174316406 × 2 - 1) × π
    0.326217651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.02484297697718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42683015} λ = -0.42683015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02484297697718))-π/2
    2×atan(2.78665785676958)-π/2
    2×1.22625668994863-π/2
    2.45251337989727-1.57079632675     		φ = 0.88171705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42683015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88171705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.518666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56632 KachelY 44157 -0.42683015 0.88171705 -24.455566 50.518666
    Oben rechts KachelX + 1 56633 KachelY 44157 -0.42678222 0.88171705 -24.452820 50.518666
    Unten links KachelX 56632 KachelY + 1 44158 -0.42683015 0.88168657 -24.455566 50.516919
    Unten rechts KachelX + 1 56633 KachelY + 1 44158 -0.42678222 0.88168657 -24.452820 50.516919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88171705-0.88168657) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dl = 194.18808000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88171705-0.88168657) × R
    3.04800000000549e-05 × 6371000     		dr = 194.18808000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42683015--0.42678222) × cos(0.88171705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635826808413244 × 6371000     		do = 194.157364945608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42683015--0.42678222) × cos(0.88168657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		du = 194.164548629128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88171705)-sin(0.88168657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635826808413244-0.635850333550012)×R²
    abs(-0.42678222--0.42683015)×2.35251367681766e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35251367681766e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35251367681766e-05×40589641000000     		ar = 37703.743412585m²