Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5663 / 3041
↖ ↑ ↗
← N 81.145790°
W117.784424°		 ← 188.03 m → N 81.145790°
W117.773438°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 81.144099°
W117.784424°		 ← 188.06 m →
35 366 m²		 N 81.144099°
W117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.172836303710938 y=0.0928192138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.172836303710938 × 215)
    floor (0.172836303710938 × 32768)
    floor (5663.5)     		tx = 5663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928192138671875 × 215)
    floor (0.0928192138671875 × 32768)
    floor (3041.5)     		ty = 3041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5663 / 3041 ti = "15/5663/3041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5663/3041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5663 ÷ 215
    5663 ÷ 32768     		x = 0.172821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3041 ÷ 215
    3041 ÷ 32768     		y = 0.092803955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.172821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.65435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.05572600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092803955078125 × 2 - 1) × π
    0.81439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55848820652164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.05572600} λ = -2.05572600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55848820652164))-π/2
    2×atan(12.9162758063731)-π/2
    2×1.49352876682051-π/2
    2.98705753364101-1.57079632675     		φ = 1.41626121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.05572600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.784424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41626121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.145790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5663 KachelY 3041 -2.05572600 1.41626121 -117.784424 81.145790
    Oben rechts KachelX + 1 5664 KachelY 3041 -2.05553426 1.41626121 -117.773438 81.145790
    Unten links KachelX 5663 KachelY + 1 3042 -2.05572600 1.41623169 -117.784424 81.144099
    Unten rechts KachelX + 1 5664 KachelY + 1 3042 -2.05553426 1.41623169 -117.773438 81.144099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41626121-1.41623169) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41626121-1.41623169) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.05572600--2.05553426) × cos(1.41626121) × R
    0.000191739999999996 × 0.153920772658547 × 6371000     		do = 188.025850977578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.05572600--2.05553426) × cos(1.41623169) × R
    0.000191739999999996 × 0.153949940807326 × 6371000     		du = 188.061482074674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41626121)-sin(1.41623169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153920772658547-0.153949940807326)×R²
    abs(-2.05553426--2.05572600)×2.9168148779346e-05×R²
    0.000191739999999996×2.9168148779346e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.9168148779346e-05×40589641000000     		ar = 35365.7334102741m²