Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5663 / 11893
↖ ↑ ↗
← S 62.804978°
W 55.568847°		 ← 1 116.60 m → S 62.804978°
W 55.546875°		 →
↑
1 116.45 m
↓
↑
1 116.45 m
↓
S 62.815019°
W 55.568847°		 ← 1 116.22 m →
1 246 420 m²		 S 62.815019°
W 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345672607421875 y=0.725921630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345672607421875 × 214)
    floor (0.345672607421875 × 16384)
    floor (5663.5)     		tx = 5663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725921630859375 × 214)
    floor (0.725921630859375 × 16384)
    floor (11893.5)     		ty = 11893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5663 / 11893 ti = "14/5663/11893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5663/11893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5663 ÷ 214
    5663 ÷ 16384     		x = 0.34564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11893 ÷ 214
    11893 ÷ 16384     		y = 0.72589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.3087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96985935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.4517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41931572395062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96985935} λ = -0.96985935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41931572395062))-π/2
    2×atan(0.241879472611833)-π/2
    2×0.237321332243197-π/2
    0.474642664486393-1.57079632675     		φ = -1.09615366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96985935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.568847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09615366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.804978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5663 KachelY 11893 -0.96985935 -1.09615366 -55.568847 -62.804978
    Oben rechts KachelX + 1 5664 KachelY 11893 -0.96947586 -1.09615366 -55.546875 -62.804978
    Unten links KachelX 5663 KachelY + 1 11894 -0.96985935 -1.09632890 -55.568847 -62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 5664 KachelY + 1 11894 -0.96947586 -1.09632890 -55.546875 -62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09615366--1.09632890) × R
    0.000175240000000132 × 6371000     		dl = 1116.45404000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09615366--1.09632890) × R
    0.000175240000000132 × 6371000     		dr = 1116.45404000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96985935--0.96947586) × cos(-1.09615366) × R
    0.000383490000000042 × 0.457020644169134 × 6371000     		do = 1116.59959716948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96985935--0.96947586) × cos(-1.09632890) × R
    0.000383490000000042 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 1116.2187603281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09615366)-sin(-1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457020644169134-0.456864768867899)×R²
    abs(-0.96947586--0.96985935)×0.000155875301234898×R²
    0.000383490000000042×0.000155875301234898×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155875301234898×40589641000000     		ar = 1246419.541098m²