Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56629 / 84093
↖ ↑ ↗
← S 45.330909°
W 24.463806°		 ← 214.67 m → S 45.330909°
W 24.461060°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.332840°
W 24.463806°		 ← 214.67 m →
46 090 m²		 S 45.332840°
W 24.461060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432048797607422 y=0.641582489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432048797607422 × 217)
    floor (0.432048797607422 × 131072)
    floor (56629.5)     		tx = 56629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641582489013672 × 217)
    floor (0.641582489013672 × 131072)
    floor (84093.5)     		ty = 84093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56629 / 84093 ti = "17/56629/84093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56629/84093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56629 ÷ 217
    56629 ÷ 131072     		x = 0.432044982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84093 ÷ 217
    84093 ÷ 131072     		y = 0.641578674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432044982910156 × 2 - 1) × π
    -0.135910034179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42697396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641578674316406 × 2 - 1) × π
    -0.283157348632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.889565046249382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42697396} λ = -0.42697396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889565046249382))-π/2
    2×atan(0.410834407862757)-π/2
    2×0.389811350921173-π/2
    0.779622701842346-1.57079632675     		φ = -0.79117362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42697396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.463806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79117362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.330909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56629 KachelY 84093 -0.42697396 -0.79117362 -24.463806 -45.330909
    Oben rechts KachelX + 1 56630 KachelY 84093 -0.42692603 -0.79117362 -24.461060 -45.330909
    Unten links KachelX 56629 KachelY + 1 84094 -0.42697396 -0.79120732 -24.463806 -45.332840
    Unten rechts KachelX + 1 56630 KachelY + 1 84094 -0.42692603 -0.79120732 -24.461060 -45.332840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79117362--0.79120732) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79117362--0.79120732) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42697396--0.42692603) × cos(-0.79117362) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.703011146303496 × 6371000     		do = 214.672910747745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42697396--0.42692603) × cos(-0.79120732) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.70298717917773 × 6371000     		du = 214.665592097568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79117362)-sin(-0.79120732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703011146303496-0.70298717917773)×R²
    abs(-0.42692603--0.42697396)×2.39671257662444e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39671257662444e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39671257662444e-05×40589641000000     		ar = 46090.0678917235m²