Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56621 / 42841
↖ ↑ ↗
← N 52.761230°
W 24.485779°		 ← 184.82 m → N 52.761230°
W 24.483032°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
N 52.759568°
W 24.485779°		 ← 184.83 m →
34 160 m²		 N 52.759568°
W 24.483032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431987762451172 y=0.326854705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431987762451172 × 217)
    floor (0.431987762451172 × 131072)
    floor (56621.5)     		tx = 56621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326854705810547 × 217)
    floor (0.326854705810547 × 131072)
    floor (42841.5)     		ty = 42841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56621 / 42841 ti = "17/56621/42841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56621/42841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56621 ÷ 217
    56621 ÷ 131072     		x = 0.431983947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42841 ÷ 217
    42841 ÷ 131072     		y = 0.326850891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431983947753906 × 2 - 1) × π
    -0.136032104492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42735746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326850891113281 × 2 - 1) × π
    0.346298217773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.08792793687717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42735746} λ = -0.42735746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08792793687717))-π/2
    2×atan(2.96811756947436)-π/2
    2×1.24582675129297-π/2
    2.49165350258593-1.57079632675     		φ = 0.92085718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42735746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.485779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92085718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.761230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56621 KachelY 42841 -0.42735746 0.92085718 -24.485779 52.761230
    Oben rechts KachelX + 1 56622 KachelY 42841 -0.42730952 0.92085718 -24.483032 52.761230
    Unten links KachelX 56621 KachelY + 1 42842 -0.42735746 0.92082817 -24.485779 52.759568
    Unten rechts KachelX + 1 56622 KachelY + 1 42842 -0.42730952 0.92082817 -24.483032 52.759568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92085718-0.92082817) × R
    2.9010000000107e-05 × 6371000     		dl = 184.822710000682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92085718-0.92082817) × R
    2.9010000000107e-05 × 6371000     		dr = 184.822710000682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42735746--0.42730952) × cos(0.92085718) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60513796036486 × 6371000     		do = 184.824709346621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42735746--0.42730952) × cos(0.92082817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605161055569541 × 6371000     		du = 184.831763216601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92085718)-sin(0.92082817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60513796036486-0.605161055569541)×R²
    abs(-0.42730952--0.42735746)×2.30952046806898e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30952046806898e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30952046806898e-05×40589641000000     		ar = 34160.4555167073m²