Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5662 / 2591
↖ ↑ ↗
← N 55.002826°
E 68.818360°		 ← 2 802.58 m → N 55.002826°
E 68.862305°		 →
↑
2 803.49 m
↓
↑
2 803.49 m
↓
N 54.977613°
E 68.818360°		 ← 2 804.34 m →
7 859 487 m²		 N 54.977613°
E 68.862305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69122314453125 y=0.31634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69122314453125 × 213)
    floor (0.69122314453125 × 8192)
    floor (5662.5)     		tx = 5662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31634521484375 × 213)
    floor (0.31634521484375 × 8192)
    floor (2591.5)     		ty = 2591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5662 / 2591 ti = "13/5662/2591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5662/2591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5662 ÷ 213
    5662 ÷ 8192     		x = 0.691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2591 ÷ 213
    2591 ÷ 8192     		y = 0.3162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.691162109375 × 2 - 1) × π
    0.38232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.20110696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3162841796875 × 2 - 1) × π
    0.367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15432054285095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20110696} λ = 1.20110696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15432054285095))-π/2
    2×atan(3.17186753712243)-π/2
    2×1.26538836752889-π/2
    2.53077673505778-1.57079632675     		φ = 0.95998041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20110696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.818360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95998041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.002826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5662 KachelY 2591 1.20110696 0.95998041 68.818360 55.002826
    Oben rechts KachelX + 1 5663 KachelY 2591 1.20187395 0.95998041 68.862305 55.002826
    Unten links KachelX 5662 KachelY + 1 2592 1.20110696 0.95954037 68.818360 54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 5663 KachelY + 1 2592 1.20187395 0.95954037 68.862305 54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95998041-0.95954037) × R
    0.000440039999999975 × 6371000     		dl = 2803.49483999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95998041-0.95954037) × R
    0.000440039999999975 × 6371000     		dr = 2803.49483999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20110696-1.20187395) × cos(0.95998041) × R
    0.000766990000000023 × 0.573536033925229 × 6371000     		do = 2802.57998134893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20110696-1.20187395) × cos(0.95954037) × R
    0.000766990000000023 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 2804.34115451777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95998041)-sin(0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573536033925229-0.573896450498898)×R²
    abs(1.20187395-1.20110696)×0.000360416573668476×R²
    0.000766990000000023×0.000360416573668476×6371000²
    0.000766990000000023×0.000360416573668476×40589641000000     		ar = 7859487.36316804m²