Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5662 / 11890
↖ ↑ ↗
← S 62.774837°
W 55.590820°		 ← 1 117.77 m → S 62.774837°
W 55.568847°		 →
↑
1 117.54 m
↓
↑
1 117.54 m
↓
S 62.784888°
W 55.590820°		 ← 1 117.39 m →
1 248 939 m²		 S 62.784888°
W 55.568847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345611572265625 y=0.725738525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345611572265625 × 214)
    floor (0.345611572265625 × 16384)
    floor (5662.5)     		tx = 5662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725738525390625 × 214)
    floor (0.725738525390625 × 16384)
    floor (11890.5)     		ty = 11890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5662 / 11890 ti = "14/5662/11890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5662/11890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5662 ÷ 214
    5662 ÷ 16384     		x = 0.3455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11890 ÷ 214
    11890 ÷ 16384     		y = 0.7257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41816523835974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97024285} λ = -0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41816523835974))-π/2
    2×atan(0.242157911599112)-π/2
    2×0.237584364621225-π/2
    0.475168729242451-1.57079632675     		φ = -1.09562760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09562760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.774837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5662 KachelY 11890 -0.97024285 -1.09562760 -55.590820 -62.774837
    Oben rechts KachelX + 1 5663 KachelY 11890 -0.96985935 -1.09562760 -55.568847 -62.774837
    Unten links KachelX 5662 KachelY + 1 11891 -0.97024285 -1.09580301 -55.590820 -62.784888
    Unten rechts KachelX + 1 5663 KachelY + 1 11891 -0.96985935 -1.09580301 -55.568847 -62.784888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09562760--1.09580301) × R
    0.000175409999999987 × 6371000     		dl = 1117.53710999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09562760--1.09580301) × R
    0.000175409999999987 × 6371000     		dr = 1117.53710999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97024285--0.96985935) × cos(-1.09562760) × R
    0.000383499999999981 × 0.457488488178965 × 6371000     		do = 1117.77178716511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97024285--0.96985935) × cos(-1.09580301) × R
    0.000383499999999981 × 0.457332503843086 × 6371000     		du = 1117.39067399093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09562760)-sin(-1.09580301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457488488178965-0.457332503843086)×R²
    abs(-0.96985935--0.97024285)×0.000155984335878823×R²
    0.000383499999999981×0.000155984335878823×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155984335878823×40589641000000     		ar = 1248938.50181271m²