Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5662 / 11803
↖ ↑ ↗
← S 61.887226°
W 55.590820°		 ← 1 151.29 m → S 61.887226°
W 55.568847°		 →
↑
1 151.11 m
↓
↑
1 151.11 m
↓
S 61.897578°
W 55.590820°		 ← 1 150.90 m →
1 325 044 m²		 S 61.897578°
W 55.568847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345611572265625 y=0.720428466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345611572265625 × 214)
    floor (0.345611572265625 × 16384)
    floor (5662.5)     		tx = 5662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720428466796875 × 214)
    floor (0.720428466796875 × 16384)
    floor (11803.5)     		ty = 11803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5662 / 11803 ti = "14/5662/11803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5662/11803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5662 ÷ 214
    5662 ÷ 16384     		x = 0.3455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11803 ÷ 214
    11803 ÷ 16384     		y = 0.72039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97024285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.4407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.38480115622418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97024285} λ = -0.97024285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38480115622418))-π/2
    2×atan(0.250373580070309)-π/2
    2×0.245330236980672-π/2
    0.490660473961344-1.57079632675     		φ = -1.08013585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97024285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08013585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.887226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5662 KachelY 11803 -0.97024285 -1.08013585 -55.590820 -61.887226
    Oben rechts KachelX + 1 5663 KachelY 11803 -0.96985935 -1.08013585 -55.568847 -61.887226
    Unten links KachelX 5662 KachelY + 1 11804 -0.97024285 -1.08031653 -55.590820 -61.897578
    Unten rechts KachelX + 1 5663 KachelY + 1 11804 -0.96985935 -1.08031653 -55.568847 -61.897578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08013585--1.08031653) × R
    0.000180679999999933 × 6371000     		dl = 1151.11227999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08013585--1.08031653) × R
    0.000180679999999933 × 6371000     		dr = 1151.11227999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97024285--0.96985935) × cos(-1.08013585) × R
    0.000383499999999981 × 0.471208545856808 × 6371000     		do = 1151.29370910815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97024285--0.96985935) × cos(-1.08031653) × R
    0.000383499999999981 × 0.471049174462302 × 6371000     		du = 1150.90432040643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08013585)-sin(-1.08031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471208545856808-0.471049174462302)×R²
    abs(-0.96985935--0.97024285)×0.000159371394506502×R²
    0.000383499999999981×0.000159371394506502×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159371394506502×40589641000000     		ar = 1325044.21498764m²