Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56619 / 87137
↖ ↑ ↗
← S 50.904765°
W 24.491272°		 ← 192.56 m → S 50.904765°
W 24.488526°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
S 50.906497°
W 24.491272°		 ← 192.56 m →
37 086 m²		 S 50.906497°
W 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431972503662109 y=0.664806365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431972503662109 × 217)
    floor (0.431972503662109 × 131072)
    floor (56619.5)     		tx = 56619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664806365966797 × 217)
    floor (0.664806365966797 × 131072)
    floor (87137.5)     		ty = 87137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56619 / 87137 ti = "17/56619/87137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56619/87137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56619 ÷ 217
    56619 ÷ 131072     		x = 0.431968688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87137 ÷ 217
    87137 ÷ 131072     		y = 0.664802551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431968688964844 × 2 - 1) × π
    -0.136062622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42745333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664802551269531 × 2 - 1) × π
    -0.329605102539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.03548496869283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42745333} λ = -0.42745333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03548496869283))-π/2
    2×atan(0.355054149018252)-π/2
    2×0.341170287274272-π/2
    0.682340574548545-1.57079632675     		φ = -0.88845575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42745333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.491272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88845575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.904765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56619 KachelY 87137 -0.42745333 -0.88845575 -24.491272 -50.904765
    Oben rechts KachelX + 1 56620 KachelY 87137 -0.42740540 -0.88845575 -24.488526 -50.904765
    Unten links KachelX 56619 KachelY + 1 87138 -0.42745333 -0.88848598 -24.491272 -50.906497
    Unten rechts KachelX + 1 56620 KachelY + 1 87138 -0.42740540 -0.88848598 -24.488526 -50.906497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88845575--0.88848598) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88845575--0.88848598) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42745333--0.42740540) × cos(-0.88845575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630611268661058 × 6371000     		do = 192.564737139334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42745333--0.42740540) × cos(-0.88848598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630587806904628 × 6371000     		du = 192.557572809763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88845575)-sin(-0.88848598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630611268661058-0.630587806904628)×R²
    abs(-0.42740540--0.42745333)×2.34617564307538e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34617564307538e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34617564307538e-05×40589641000000     		ar = 37086.3791903806m²