Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56619 / 87133
↖ ↑ ↗
← S 50.897837°
W 24.491272°		 ← 192.59 m → S 50.897837°
W 24.488526°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
S 50.899569°
W 24.491272°		 ← 192.59 m →
37 092 m²		 S 50.899569°
W 24.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431972503662109 y=0.664775848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431972503662109 × 217)
    floor (0.431972503662109 × 131072)
    floor (56619.5)     		tx = 56619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664775848388672 × 217)
    floor (0.664775848388672 × 131072)
    floor (87133.5)     		ty = 87133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56619 / 87133 ti = "17/56619/87133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56619/87133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56619 ÷ 217
    56619 ÷ 131072     		x = 0.431968688964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87133 ÷ 217
    87133 ÷ 131072     		y = 0.664772033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431968688964844 × 2 - 1) × π
    -0.136062622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42745333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664772033691406 × 2 - 1) × π
    -0.329544067382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03529322109435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42745333} λ = -0.42745333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03529322109435))-π/2
    2×atan(0.355122236326236)-π/2
    2×0.341230750870964-π/2
    0.682461501741928-1.57079632675     		φ = -0.88833483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42745333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.491272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88833483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.897837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56619 KachelY 87133 -0.42745333 -0.88833483 -24.491272 -50.897837
    Oben rechts KachelX + 1 56620 KachelY 87133 -0.42740540 -0.88833483 -24.488526 -50.897837
    Unten links KachelX 56619 KachelY + 1 87134 -0.42745333 -0.88836506 -24.491272 -50.899569
    Unten rechts KachelX + 1 56620 KachelY + 1 87134 -0.42740540 -0.88836506 -24.488526 -50.899569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88833483--0.88836506) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88833483--0.88836506) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42745333--0.42740540) × cos(-0.88833483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630705109923707 × 6371000     		do = 192.593392697794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42745333--0.42740540) × cos(-0.88836506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630681650472549 × 6371000     		du = 192.586229072166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88833483)-sin(-0.88836506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630705109923707-0.630681650472549)×R²
    abs(-0.42740540--0.42745333)×2.34594511583364e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34594511583364e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34594511583364e-05×40589641000000     		ar = 37091.8981848683m²