Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56614 / 87138
↖ ↑ ↗
← S 50.906497°
W 24.505005°		 ← 192.60 m → S 50.906497°
W 24.502258°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
S 50.908229°
W 24.505005°		 ← 192.59 m →
37 093 m²		 S 50.908229°
W 24.502258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431934356689453 y=0.664813995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431934356689453 × 217)
    floor (0.431934356689453 × 131072)
    floor (56614.5)     		tx = 56614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664813995361328 × 217)
    floor (0.664813995361328 × 131072)
    floor (87138.5)     		ty = 87138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56614 / 87138 ti = "17/56614/87138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56614/87138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56614 ÷ 217
    56614 ÷ 131072     		x = 0.431930541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87138 ÷ 217
    87138 ÷ 131072     		y = 0.664810180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431930541992188 × 2 - 1) × π
    -0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664810180664062 × 2 - 1) × π
    -0.329620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03553290559245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42769302} λ = -0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03553290559245))-π/2
    2×atan(0.355037129231092)-π/2
    2×0.341155172780934-π/2
    0.682310345561868-1.57079632675     		φ = -0.88848598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88848598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.906497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56614 KachelY 87138 -0.42769302 -0.88848598 -24.505005 -50.906497
    Oben rechts KachelX + 1 56615 KachelY 87138 -0.42764508 -0.88848598 -24.502258 -50.906497
    Unten links KachelX 56614 KachelY + 1 87139 -0.42769302 -0.88851621 -24.505005 -50.908229
    Unten rechts KachelX + 1 56615 KachelY + 1 87139 -0.42764508 -0.88851621 -24.502258 -50.908229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88848598--0.88851621) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88848598--0.88851621) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42769302--0.42764508) × cos(-0.88848598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630587806904628 × 6371000     		do = 192.597747558697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42769302--0.42764508) × cos(-0.88851621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630564344571932 × 6371000     		du = 192.590581558371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88848598)-sin(-0.88851621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630587806904628-0.630564344571932)×R²
    abs(-0.42764508--0.42769302)×2.34623326952343e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34623326952343e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34623326952343e-05×40589641000000     		ar = 37092.7366820135m²