Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56614 / 29449
↖ ↑ ↗
← N 69.891621°
W 24.505005°		 ← 105 m → N 69.891621°
W 24.502258°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 69.890676°
W 24.505005°		 ← 105.01 m →
11 032 m²		 N 69.890676°
W 24.502258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431934356689453 y=0.224681854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431934356689453 × 217)
    floor (0.431934356689453 × 131072)
    floor (56614.5)     		tx = 56614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224681854248047 × 217)
    floor (0.224681854248047 × 131072)
    floor (29449.5)     		ty = 29449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56614 / 29449 ti = "17/56614/29449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56614/29449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56614 ÷ 217
    56614 ÷ 131072     		x = 0.431930541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29449 ÷ 217
    29449 ÷ 131072     		y = 0.224678039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431930541992188 × 2 - 1) × π
    -0.136138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42769302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224678039550781 × 2 - 1) × π
    0.550643920898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.72989889658897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42769302} λ = -0.42769302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72989889658897))-π/2
    2×atan(5.64008364790585)-π/2
    2×1.39531761593269-π/2
    2.79063523186539-1.57079632675     		φ = 1.21983891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42769302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.505005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21983891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.891621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56614 KachelY 29449 -0.42769302 1.21983891 -24.505005 69.891621
    Oben rechts KachelX + 1 56615 KachelY 29449 -0.42764508 1.21983891 -24.502258 69.891621
    Unten links KachelX 56614 KachelY + 1 29450 -0.42769302 1.21982242 -24.505005 69.890676
    Unten rechts KachelX + 1 56615 KachelY + 1 29450 -0.42764508 1.21982242 -24.502258 69.890676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21983891-1.21982242) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21983891-1.21982242) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42769302--0.42764508) × cos(1.21983891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343797021371901 × 6371000     		do = 105.00445966224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42769302--0.42764508) × cos(1.21982242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		du = 105.009189115253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21983891)-sin(1.21982242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343797021371901-0.34381250616049)×R²
    abs(-0.42764508--0.42769302)×1.54847885897036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54847885897036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54847885897036e-05×40589641000000     		ar = 11031.7849053281m²