Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56613 / 14102
↖ ↑ ↗
← N 80.287739°
W 24.507752°		 ← 51.53 m → N 80.287739°
W 24.505005°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.287275°
W 24.507752°		 ← 51.53 m →
2 656 m²		 N 80.287275°
W 24.505005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431926727294922 y=0.107593536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431926727294922 × 217)
    floor (0.431926727294922 × 131072)
    floor (56613.5)     		tx = 56613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107593536376953 × 217)
    floor (0.107593536376953 × 131072)
    floor (14102.5)     		ty = 14102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56613 / 14102 ti = "17/56613/14102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56613/14102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56613 ÷ 217
    56613 ÷ 131072     		x = 0.431922912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14102 ÷ 217
    14102 ÷ 131072     		y = 0.107589721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431922912597656 × 2 - 1) × π
    -0.136154174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42774096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107589721679688 × 2 - 1) × π
    0.784820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46558649505797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42774096} λ = -0.42774096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46558649505797))-π/2
    2×atan(11.770383399703)-π/2
    2×1.48604085858698-π/2
    2.97208171717396-1.57079632675     		φ = 1.40128539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42774096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.507752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40128539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.287739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56613 KachelY 14102 -0.42774096 1.40128539 -24.507752 80.287739
    Oben rechts KachelX + 1 56614 KachelY 14102 -0.42769302 1.40128539 -24.505005 80.287739
    Unten links KachelX 56613 KachelY + 1 14103 -0.42774096 1.40127730 -24.507752 80.287275
    Unten rechts KachelX + 1 56614 KachelY + 1 14103 -0.42769302 1.40127730 -24.505005 80.287275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40128539-1.40127730) × R
    8.08999999990512e-06 × 6371000     		dl = 51.5413899993955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40128539-1.40127730) × R
    8.08999999990512e-06 × 6371000     		dr = 51.5413899993955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42774096--0.42769302) × cos(1.40128539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16870031560845 × 6371000     		do = 51.5254187329702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42774096--0.42769302) × cos(1.40127730) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168708289652113 × 6371000     		du = 51.527854211157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40128539)-sin(1.40127730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16870031560845-0.168708289652113)×R²
    abs(-0.42769302--0.42774096)×7.97404366356669e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.97404366356669e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.97404366356669e-06×40589641000000     		ar = 2655.7544656679m²