Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56611 / 44135
↖ ↑ ↗
← N 50.557070°
W 24.513245°		 ← 194.04 m → N 50.557070°
W 24.510498°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
N 50.555325°
W 24.513245°		 ← 194.05 m →
37 644 m²		 N 50.555325°
W 24.510498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431911468505859 y=0.336727142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431911468505859 × 217)
    floor (0.431911468505859 × 131072)
    floor (56611.5)     		tx = 56611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336727142333984 × 217)
    floor (0.336727142333984 × 131072)
    floor (44135.5)     		ty = 44135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56611 / 44135 ti = "17/56611/44135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56611/44135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56611 ÷ 217
    56611 ÷ 131072     		x = 0.431907653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44135 ÷ 217
    44135 ÷ 131072     		y = 0.336723327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431907653808594 × 2 - 1) × π
    -0.136184692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.42783683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336723327636719 × 2 - 1) × π
    0.326553344726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.02589758876882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42783683} λ = -0.42783683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02589758876882))-π/2
    2×atan(2.78959824921835)-π/2
    2×1.22659182872994-π/2
    2.45318365745988-1.57079632675     		φ = 0.88238733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42783683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.513245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88238733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.557070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56611 KachelY 44135 -0.42783683 0.88238733 -24.513245 50.557070
    Oben rechts KachelX + 1 56612 KachelY 44135 -0.42778889 0.88238733 -24.510498 50.557070
    Unten links KachelX 56611 KachelY + 1 44136 -0.42783683 0.88235688 -24.513245 50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 56612 KachelY + 1 44136 -0.42778889 0.88235688 -24.510498 50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88238733-0.88235688) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88238733-0.88235688) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42783683--0.42778889) × cos(0.88238733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635309322227543 × 6371000     		do = 194.039819870343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42783683--0.42778889) × cos(0.88235688) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 194.047001942752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88238733)-sin(0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635309322227543-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.42778889--0.42783683)×2.35149545975144e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35149545975144e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35149545975144e-05×40589641000000     		ar = 37643.8298864487m²