Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56610 / 87134
↖ ↑ ↗
← S 50.899569°
W 24.515991°		 ← 192.63 m → S 50.899569°
W 24.513245°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
S 50.901301°
W 24.515991°		 ← 192.62 m →
37 098 m²		 S 50.901301°
W 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431903839111328 y=0.664783477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431903839111328 × 217)
    floor (0.431903839111328 × 131072)
    floor (56610.5)     		tx = 56610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664783477783203 × 217)
    floor (0.664783477783203 × 131072)
    floor (87134.5)     		ty = 87134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56610 / 87134 ti = "17/56610/87134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56610/87134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56610 ÷ 217
    56610 ÷ 131072     		x = 0.431900024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87134 ÷ 217
    87134 ÷ 131072     		y = 0.664779663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431900024414062 × 2 - 1) × π
    -0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664779663085938 × 2 - 1) × π
    -0.329559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03534115799397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42788477} λ = -0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03534115799397))-π/2
    2×atan(0.35510521327526)-π/2
    2×0.341215634128276-π/2
    0.682431268256553-1.57079632675     		φ = -0.88836506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88836506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.899569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56610 KachelY 87134 -0.42788477 -0.88836506 -24.515991 -50.899569
    Oben rechts KachelX + 1 56611 KachelY 87134 -0.42783683 -0.88836506 -24.513245 -50.899569
    Unten links KachelX 56610 KachelY + 1 87135 -0.42788477 -0.88839529 -24.515991 -50.901301
    Unten rechts KachelX + 1 56611 KachelY + 1 87135 -0.42783683 -0.88839529 -24.513245 -50.901301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88836506--0.88839529) × R
    3.02299999999089e-05 × 6371000     		dl = 192.59532999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88836506--0.88839529) × R
    3.02299999999089e-05 × 6371000     		dr = 192.59532999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42788477--0.42783683) × cos(-0.88836506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630681650472549 × 6371000     		do = 192.626409800096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42788477--0.42783683) × cos(-0.88839529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630658190445041 × 6371000     		du = 192.619244503834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88836506)-sin(-0.88839529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630681650472549-0.630658190445041)×R²
    abs(-0.42783683--0.42788477)×2.34600275085262e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34600275085262e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34600275085262e-05×40589641000000     		ar = 37098.2569636837m²