Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56610 / 29450
↖ ↑ ↗
← N 69.890676°
W 24.515991°		 ← 105.01 m → N 69.890676°
W 24.513245°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 69.889732°
W 24.515991°		 ← 105.01 m →
11 026 m²		 N 69.889732°
W 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431903839111328 y=0.224689483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431903839111328 × 217)
    floor (0.431903839111328 × 131072)
    floor (56610.5)     		tx = 56610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224689483642578 × 217)
    floor (0.224689483642578 × 131072)
    floor (29450.5)     		ty = 29450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56610 / 29450 ti = "17/56610/29450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56610/29450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56610 ÷ 217
    56610 ÷ 131072     		x = 0.431900024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29450 ÷ 217
    29450 ÷ 131072     		y = 0.224685668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431900024414062 × 2 - 1) × π
    -0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224685668945312 × 2 - 1) × π
    0.550628662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72985095968935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42788477} λ = -0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72985095968935))-π/2
    2×atan(5.63981328626237)-π/2
    2×1.39530937546546-π/2
    2.79061875093092-1.57079632675     		φ = 1.21982242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21982242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.890676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56610 KachelY 29450 -0.42788477 1.21982242 -24.515991 69.890676
    Oben rechts KachelX + 1 56611 KachelY 29450 -0.42783683 1.21982242 -24.513245 69.890676
    Unten links KachelX 56610 KachelY + 1 29451 -0.42788477 1.21980594 -24.515991 69.889732
    Unten rechts KachelX + 1 56611 KachelY + 1 29451 -0.42783683 1.21980594 -24.513245 69.889732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21982242-1.21980594) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21982242-1.21980594) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42788477--0.42783683) × cos(1.21982242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		do = 105.009189115375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42788477--0.42783683) × cos(1.21980594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.343827981465264 × 6371000     		du = 105.013915671787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21982242)-sin(1.21980594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34381250616049-0.343827981465264)×R²
    abs(-0.42783683--0.42788477)×1.54753047736933e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54753047736933e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54753047736933e-05×40589641000000     		ar = 11025.591333277m²