Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56610 / 14086
↖ ↑ ↗
← N 80.295149°
W 24.515991°		 ← 51.49 m → N 80.295149°
W 24.513245°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.294686°
W 24.515991°		 ← 51.49 m →
2 650 m²		 N 80.294686°
W 24.513245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431903839111328 y=0.107471466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431903839111328 × 217)
    floor (0.431903839111328 × 131072)
    floor (56610.5)     		tx = 56610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107471466064453 × 217)
    floor (0.107471466064453 × 131072)
    floor (14086.5)     		ty = 14086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56610 / 14086 ti = "17/56610/14086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56610/14086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56610 ÷ 217
    56610 ÷ 131072     		x = 0.431900024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14086 ÷ 217
    14086 ÷ 131072     		y = 0.107467651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431900024414062 × 2 - 1) × π
    -0.136199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42788477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107467651367188 × 2 - 1) × π
    0.785064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46635348545189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42788477} λ = -0.42788477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46635348545189))-π/2
    2×atan(11.7794146336955)-π/2
    2×1.48610552989866-π/2
    2.97221105979733-1.57079632675     		φ = 1.40141473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42788477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.515991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40141473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.295149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56610 KachelY 14086 -0.42788477 1.40141473 -24.515991 80.295149
    Oben rechts KachelX + 1 56611 KachelY 14086 -0.42783683 1.40141473 -24.513245 80.295149
    Unten links KachelX 56610 KachelY + 1 14087 -0.42788477 1.40140665 -24.515991 80.294686
    Unten rechts KachelX + 1 56611 KachelY + 1 14087 -0.42783683 1.40140665 -24.513245 80.294686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40141473-1.40140665) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40141473-1.40140665) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42788477--0.42783683) × cos(1.40141473) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168572827977516 × 6371000     		do = 51.4864807289513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42788477--0.42783683) × cos(1.40140665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16858079234076 × 6371000     		du = 51.4889132504887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40141473)-sin(1.40140665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168572827977516-0.16858079234076)×R²
    abs(-0.42783683--0.42788477)×7.9643632440729e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.9643632440729e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.9643632440729e-06×40589641000000     		ar = 2650.46718953865m²