Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56608 / 14173
↖ ↑ ↗
← N 80.254786°
W 24.521484°		 ← 51.70 m → N 80.254786°
W 24.518738°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.254321°
W 24.521484°		 ← 51.70 m →
2 671 m²		 N 80.254321°
W 24.518738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431888580322266 y=0.108135223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431888580322266 × 217)
    floor (0.431888580322266 × 131072)
    floor (56608.5)     		tx = 56608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108135223388672 × 217)
    floor (0.108135223388672 × 131072)
    floor (14173.5)     		ty = 14173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56608 / 14173 ti = "17/56608/14173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56608/14173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56608 ÷ 217
    56608 ÷ 131072     		x = 0.431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14173 ÷ 217
    14173 ÷ 131072     		y = 0.108131408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.13623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42798064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108131408691406 × 2 - 1) × π
    0.783737182617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.46218297518494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42798064} λ = -0.42798064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46218297518494))-π/2
    2×atan(11.730390762363)-π/2
    2×1.48575328907448-π/2
    2.97150657814897-1.57079632675     		φ = 1.40071025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42798064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40071025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.254786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56608 KachelY 14173 -0.42798064 1.40071025 -24.521484 80.254786
    Oben rechts KachelX + 1 56609 KachelY 14173 -0.42793270 1.40071025 -24.518738 80.254786
    Unten links KachelX 56608 KachelY + 1 14174 -0.42798064 1.40070214 -24.521484 80.254321
    Unten rechts KachelX + 1 56609 KachelY + 1 14174 -0.42793270 1.40070214 -24.518738 80.254321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40071025-1.40070214) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40071025-1.40070214) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42798064--0.42793270) × cos(1.40071025) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169267184417972 × 6371000     		do = 51.6985550586014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42798064--0.42793270) × cos(1.40070214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169275177386732 × 6371000     		du = 51.7009963169998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40071025)-sin(1.40070214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169267184417972-0.169275177386732)×R²
    abs(-0.42793270--0.42798064)×7.99296876013988e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.99296876013988e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.99296876013988e-06×40589641000000     		ar = 2671.26588710434m²