Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56606 / 87084
↖ ↑ ↗
← S 50.812877°
W 24.526977°		 ← 192.94 m → S 50.812877°
W 24.524231°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 50.814612°
W 24.526977°		 ← 192.94 m →
37 221 m²		 S 50.814612°
W 24.524231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431873321533203 y=0.664402008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431873321533203 × 217)
    floor (0.431873321533203 × 131072)
    floor (56606.5)     		tx = 56606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664402008056641 × 217)
    floor (0.664402008056641 × 131072)
    floor (87084.5)     		ty = 87084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56606 / 87084 ti = "17/56606/87084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56606/87084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56606 ÷ 217
    56606 ÷ 131072     		x = 0.431869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87084 ÷ 217
    87084 ÷ 131072     		y = 0.664398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431869506835938 × 2 - 1) × π
    -0.136260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42807651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.32879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03294431301297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42807651} λ = -0.42807651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03294431301297))-π/2
    2×atan(0.355957366254764)-π/2
    2×0.341972160286364-π/2
    0.683944320572727-1.57079632675     		φ = -0.88685201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42807651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.526977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88685201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.812877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56606 KachelY 87084 -0.42807651 -0.88685201 -24.526977 -50.812877
    Oben rechts KachelX + 1 56607 KachelY 87084 -0.42802858 -0.88685201 -24.524231 -50.812877
    Unten links KachelX 56606 KachelY + 1 87085 -0.42807651 -0.88688229 -24.526977 -50.814612
    Unten rechts KachelX + 1 56607 KachelY + 1 87085 -0.42802858 -0.88688229 -24.524231 -50.814612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88685201--0.88688229) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88685201--0.88688229) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42807651--0.42802858) × cos(-0.88685201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63185511793994 × 6371000     		do = 192.944561480148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42807651--0.42802858) × cos(-0.88688229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63183164803052 × 6371000     		du = 192.937394660963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88685201)-sin(-0.88688229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63185511793994-0.63183164803052)×R²
    abs(-0.42802858--0.42807651)×2.34699094197044e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34699094197044e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34699094197044e-05×40589641000000     		ar = 37220.9926932506m²