Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56606 / 14180
↖ ↑ ↗
← N 80.251531°
W 24.526977°		 ← 51.70 m → N 80.251531°
W 24.524231°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.251066°
W 24.526977°		 ← 51.71 m →
2 672 m²		 N 80.251066°
W 24.524231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431873321533203 y=0.108188629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431873321533203 × 217)
    floor (0.431873321533203 × 131072)
    floor (56606.5)     		tx = 56606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108188629150391 × 217)
    floor (0.108188629150391 × 131072)
    floor (14180.5)     		ty = 14180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56606 / 14180 ti = "17/56606/14180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56606/14180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56606 ÷ 217
    56606 ÷ 131072     		x = 0.431869506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14180 ÷ 217
    14180 ÷ 131072     		y = 0.108184814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431869506835938 × 2 - 1) × π
    -0.136260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42807651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108184814453125 × 2 - 1) × π
    0.78363037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4618474168876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42807651} λ = -0.42807651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4618474168876))-π/2
    2×atan(11.7264551927551)-π/2
    2×1.48572488487402-π/2
    2.97144976974803-1.57079632675     		φ = 1.40065344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42807651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.526977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40065344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.251531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56606 KachelY 14180 -0.42807651 1.40065344 -24.526977 80.251531
    Oben rechts KachelX + 1 56607 KachelY 14180 -0.42802858 1.40065344 -24.524231 80.251531
    Unten links KachelX 56606 KachelY + 1 14181 -0.42807651 1.40064533 -24.526977 80.251066
    Unten rechts KachelX + 1 56607 KachelY + 1 14181 -0.42802858 1.40064533 -24.524231 80.251066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40065344-1.40064533) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40065344-1.40064533) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42807651--0.42802858) × cos(1.40065344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169323174387892 × 6371000     		do = 51.7048682571624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42807651--0.42802858) × cos(1.40064533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169331167278651 × 6371000     		du = 51.7073089825102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40065344)-sin(1.40064533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169323174387892-0.169331167278651)×R²
    abs(-0.42802858--0.42807651)×7.99289075906207e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.99289075906207e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.99289075906207e-06×40589641000000     		ar = 2671.59206877219m²