Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56604 / 15992
↖ ↑ ↗
← N 79.371754°
W 24.532471°		 ← 56.33 m → N 79.371754°
W 24.529724°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.371247°
W 24.532471°		 ← 56.33 m →
3 173 m²		 N 79.371247°
W 24.529724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431858062744141 y=0.122013092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431858062744141 × 217)
    floor (0.431858062744141 × 131072)
    floor (56604.5)     		tx = 56604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122013092041016 × 217)
    floor (0.122013092041016 × 131072)
    floor (15992.5)     		ty = 15992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56604 / 15992 ti = "17/56604/15992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56604/15992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56604 ÷ 217
    56604 ÷ 131072     		x = 0.431854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15992 ÷ 217
    15992 ÷ 131072     		y = 0.12200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431854248046875 × 2 - 1) × π
    -0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12200927734375 × 2 - 1) × π
    0.7559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37498575477606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42817239} λ = -0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37498575477606))-π/2
    2×atan(10.7508600365768)-π/2
    2×1.47804738435145-π/2
    2.95609476870291-1.57079632675     		φ = 1.38529844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38529844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.371754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56604 KachelY 15992 -0.42817239 1.38529844 -24.532471 79.371754
    Oben rechts KachelX + 1 56605 KachelY 15992 -0.42812445 1.38529844 -24.529724 79.371754
    Unten links KachelX 56604 KachelY + 1 15993 -0.42817239 1.38528960 -24.532471 79.371247
    Unten rechts KachelX + 1 56605 KachelY + 1 15993 -0.42812445 1.38528960 -24.529724 79.371247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38529844-1.38528960) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38529844-1.38528960) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42817239--0.42812445) × cos(1.38529844) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184435901687867 × 6371000     		do = 56.3314717556125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42817239--0.42812445) × cos(1.38528960) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184444590026432 × 6371000     		du = 56.3341253978479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38529844)-sin(1.38528960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184435901687867-0.184444590026432)×R²
    abs(-0.42812445--0.42817239)×8.68833856465523e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.68833856465523e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.68833856465523e-06×40589641000000     		ar = 3172.64293602223m²