Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56603 / 87081
↖ ↑ ↗
← S 50.807670°
W 24.535217°		 ← 192.97 m → S 50.807670°
W 24.532471°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
S 50.809406°
W 24.535217°		 ← 192.96 m →
37 250 m²		 S 50.809406°
W 24.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431850433349609 y=0.664379119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431850433349609 × 217)
    floor (0.431850433349609 × 131072)
    floor (56603.5)     		tx = 56603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664379119873047 × 217)
    floor (0.664379119873047 × 131072)
    floor (87081.5)     		ty = 87081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56603 / 87081 ti = "17/56603/87081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56603/87081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56603 ÷ 217
    56603 ÷ 131072     		x = 0.431846618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87081 ÷ 217
    87081 ÷ 131072     		y = 0.664375305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431846618652344 × 2 - 1) × π
    -0.136306762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42822032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664375305175781 × 2 - 1) × π
    -0.328750610351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.03280050231411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42822032} λ = -0.42822032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03280050231411))-π/2
    2×atan(0.356008560413415)-π/2
    2×0.342017596581804-π/2
    0.684035193163609-1.57079632675     		φ = -0.88676113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42822032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.535217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88676113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.807670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56603 KachelY 87081 -0.42822032 -0.88676113 -24.535217 -50.807670
    Oben rechts KachelX + 1 56604 KachelY 87081 -0.42817239 -0.88676113 -24.532471 -50.807670
    Unten links KachelX 56603 KachelY + 1 87082 -0.42822032 -0.88679143 -24.535217 -50.809406
    Unten rechts KachelX + 1 56604 KachelY + 1 87082 -0.42817239 -0.88679143 -24.532471 -50.809406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88676113--0.88679143) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dl = 193.041300000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88676113--0.88679143) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dr = 193.041300000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42822032--0.42817239) × cos(-0.88676113) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631925555193271 × 6371000     		do = 192.966070342589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42822032--0.42817239) × cos(-0.88679143) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63190207152172 × 6371000     		du = 192.958899320972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88676113)-sin(-0.88679143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631925555193271-0.63190207152172)×R²
    abs(-0.42817239--0.42822032)×2.3483671551694e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3483671551694e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3483671551694e-05×40589641000000     		ar = 37249.7289262576m²