Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56600 / 9171
↖ ↑ ↗
← N 78.113014°
E130.913086°		 ← 125.82 m → N 78.113014°
E130.918579°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
N 78.111882°
E130.913086°		 ← 125.84 m →
15 833 m²		 N 78.111882°
E130.918579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.863655090332031 y=0.139945983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.863655090332031 × 216)
    floor (0.863655090332031 × 65536)
    floor (56600.5)     		tx = 56600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139945983886719 × 216)
    floor (0.139945983886719 × 65536)
    floor (9171.5)     		ty = 9171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56600 / 9171 ti = "16/56600/9171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56600/9171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56600 ÷ 216
    56600 ÷ 65536     		x = 0.8636474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9171 ÷ 216
    9171 ÷ 65536     		y = 0.139938354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8636474609375 × 2 - 1) × π
    0.727294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.28486438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139938354492188 × 2 - 1) × π
    0.720123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26233404066893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.28486438} λ = 2.28486438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26233404066893))-π/2
    2×atan(9.60548261005112)-π/2
    2×1.46706280465319-π/2
    2.93412560930639-1.57079632675     		φ = 1.36332928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.28486438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.913086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36332928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.113014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56600 KachelY 9171 2.28486438 1.36332928 130.913086 78.113014
    Oben rechts KachelX + 1 56601 KachelY 9171 2.28496026 1.36332928 130.918579 78.113014
    Unten links KachelX 56600 KachelY + 1 9172 2.28486438 1.36330953 130.913086 78.111882
    Unten rechts KachelX + 1 56601 KachelY + 1 9172 2.28496026 1.36330953 130.918579 78.111882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36332928-1.36330953) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36332928-1.36330953) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.28486438-2.28496026) × cos(1.36332928) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205981927231394 × 6371000     		do = 125.824365102467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.28486438-2.28496026) × cos(1.36330953) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206001253668189 × 6371000     		du = 125.836170684986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36332928)-sin(1.36330953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205981927231394-0.206001253668189)×R²
    abs(2.28496026-2.28486438)×1.93264367945867e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93264367945867e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93264367945867e-05×40589641000000     		ar = 15832.8765764142m²