Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56600 / 87374
↖ ↑ ↗
← S 51.313447°
W 24.543457°		 ← 190.91 m → S 51.313447°
W 24.540711°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
S 51.315164°
W 24.543457°		 ← 190.90 m →
36 439 m²		 S 51.315164°
W 24.540711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431827545166016 y=0.666614532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431827545166016 × 217)
    floor (0.431827545166016 × 131072)
    floor (56600.5)     		tx = 56600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666614532470703 × 217)
    floor (0.666614532470703 × 131072)
    floor (87374.5)     		ty = 87374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56600 / 87374 ti = "17/56600/87374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56600/87374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56600 ÷ 217
    56600 ÷ 131072     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87374 ÷ 217
    87374 ÷ 131072     		y = 0.666610717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666610717773438 × 2 - 1) × π
    -0.333221435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04684601390279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04684601390279))-π/2
    2×atan(0.351043190263379)-π/2
    2×0.33760386237491-π/2
    0.675207724749821-1.57079632675     		φ = -0.89558860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89558860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.313447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56600 KachelY 87374 -0.42836414 -0.89558860 -24.543457 -51.313447
    Oben rechts KachelX + 1 56601 KachelY 87374 -0.42831620 -0.89558860 -24.540711 -51.313447
    Unten links KachelX 56600 KachelY + 1 87375 -0.42836414 -0.89561856 -24.543457 -51.315164
    Unten rechts KachelX + 1 56601 KachelY + 1 87375 -0.42831620 -0.89561856 -24.540711 -51.315164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89558860--0.89561856) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89558860--0.89561856) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42831620) × cos(-0.89558860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625059476996955 × 6371000     		do = 190.909253305904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42831620) × cos(-0.89561856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625036090625725 × 6371000     		du = 190.902110506165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89558860)-sin(-0.89561856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625059476996955-0.625036090625725)×R²
    abs(-0.42831620--0.42836414)×2.33863712297833e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33863712297833e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33863712297833e-05×40589641000000     		ar = 36439.1525814477m²