Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56600 / 14168
↖ ↑ ↗
← N 80.257110°
W 24.543457°		 ← 51.69 m → N 80.257110°
W 24.540711°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.256645°
W 24.543457°		 ← 51.69 m →
2 674 m²		 N 80.256645°
W 24.540711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431827545166016 y=0.108097076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431827545166016 × 217)
    floor (0.431827545166016 × 131072)
    floor (56600.5)     		tx = 56600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108097076416016 × 217)
    floor (0.108097076416016 × 131072)
    floor (14168.5)     		ty = 14168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56600 / 14168 ti = "17/56600/14168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56600/14168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56600 ÷ 217
    56600 ÷ 131072     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14168 ÷ 217
    14168 ÷ 131072     		y = 0.10809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10809326171875 × 2 - 1) × π
    0.7838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46242265968304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46242265968304))-π/2
    2×atan(11.73320269216)-π/2
    2×1.48577357203861-π/2
    2.97154714407723-1.57079632675     		φ = 1.40075082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40075082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.257110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56600 KachelY 14168 -0.42836414 1.40075082 -24.543457 80.257110
    Oben rechts KachelX + 1 56601 KachelY 14168 -0.42831620 1.40075082 -24.540711 80.257110
    Unten links KachelX 56600 KachelY + 1 14169 -0.42836414 1.40074270 -24.543457 80.256645
    Unten rechts KachelX + 1 56601 KachelY + 1 14169 -0.42831620 1.40074270 -24.540711 80.256645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40075082-1.40074270) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dl = 51.7325200010632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40075082-1.40074270) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dr = 51.7325200010632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42831620) × cos(1.40075082) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169227199695644 × 6371000     		do = 51.6863426951959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42831620) × cos(1.40074270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.169235202575849 × 6371000     		du = 51.6887869808045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40075082)-sin(1.40074270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169227199695644-0.169235202575849)×R²
    abs(-0.42831620--0.42836414)×8.00288020472162e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.00288020472162e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.00288020472162e-06×40589641000000     		ar = 2673.92798176762m²