Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56600 / 14093
↖ ↑ ↗
← N 80.291908°
W 24.543457°		 ← 51.50 m → N 80.291908°
W 24.540711°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.291445°
W 24.543457°		 ← 51.51 m →
2 655 m²		 N 80.291445°
W 24.540711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431827545166016 y=0.107524871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431827545166016 × 217)
    floor (0.431827545166016 × 131072)
    floor (56600.5)     		tx = 56600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107524871826172 × 217)
    floor (0.107524871826172 × 131072)
    floor (14093.5)     		ty = 14093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56600 / 14093 ti = "17/56600/14093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56600/14093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56600 ÷ 217
    56600 ÷ 131072     		x = 0.43182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14093 ÷ 217
    14093 ÷ 131072     		y = 0.107521057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107521057128906 × 2 - 1) × π
    0.784957885742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.46601792715455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42836414} λ = -0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46601792715455))-π/2
    2×atan(11.7754626164805)-π/2
    2×1.4860772422157-π/2
    2.97215448443141-1.57079632675     		φ = 1.40135816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40135816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.291908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56600 KachelY 14093 -0.42836414 1.40135816 -24.543457 80.291908
    Oben rechts KachelX + 1 56601 KachelY 14093 -0.42831620 1.40135816 -24.540711 80.291908
    Unten links KachelX 56600 KachelY + 1 14094 -0.42836414 1.40135007 -24.543457 80.291445
    Unten rechts KachelX + 1 56601 KachelY + 1 14094 -0.42831620 1.40135007 -24.540711 80.291445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40135816-1.40135007) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dl = 51.5413900008102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40135816-1.40135007) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dr = 51.5413900008102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42836414--0.42831620) × cos(1.40135816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168628588145876 × 6371000     		do = 51.5035113196353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42836414--0.42831620) × cos(1.40135007) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168636562288837 × 6371000     		du = 51.5059468281499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40135816)-sin(1.40135007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168628588145876-0.168636562288837)×R²
    abs(-0.42831620--0.42836414)×7.97414296047072e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.97414296047072e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.97414296047072e-06×40589641000000     		ar = 2654.62532801879m²