Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 566 / 602
↖ ↑ ↗
← S 30.145127°
E 18.984375°		 ← 33.805 km → S 30.145127°
E 19.335937°		 →
↑
33.753 km
↓
↑
33.753 km
↓
S 30.448674°
E 18.984375°		 ← 33.701 km →
1 139.25 km²		 S 30.448674°
E 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55322265625 y=0.58837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55322265625 × 210)
    floor (0.55322265625 × 1024)
    floor (566.5)     		tx = 566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58837890625 × 210)
    floor (0.58837890625 × 1024)
    floor (602.5)     		ty = 602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 566 / 602 ti = "10/566/602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/566/602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 566 ÷ 210
    566 ÷ 1024     		x = 0.552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 602 ÷ 210
    602 ÷ 1024     		y = 0.587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552734375 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587890625 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33133985} λ = 0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552233083623047))-π/2
    2×atan(0.575662870664402)-π/2
    2×0.522332302013094-π/2
    1.04466460402619-1.57079632675     		φ = -0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 566 KachelY 602 0.33133985 -0.52613172 18.984375 -30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 567 KachelY 602 0.33747577 -0.52613172 19.335937 -30.145127
    Unten links KachelX 566 KachelY + 1 603 0.33133985 -0.53142961 18.984375 -30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 567 KachelY + 1 603 0.33747577 -0.53142961 19.335937 -30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52613172--0.53142961) × R
    0.00529789000000003 × 6371000     		dl = 33752.8571900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52613172--0.53142961) × R
    0.00529789000000003 × 6371000     		dr = 33752.8571900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33133985-0.33747577) × cos(-0.52613172) × R
    0.00613592000000002 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 33805.0011838489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33133985-0.33747577) × cos(-0.53142961) × R
    0.00613592000000002 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 33700.5208711883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52613172)-sin(-0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.862083473545203)×R²
    abs(0.33747577-0.33133985)×0.0026726812680381×R²
    0.00613592000000002×0.0026726812680381×6371000²
    0.00613592000000002×0.0026726812680381×40589641000000     		ar = 1139254787.4139m²